8.Лекция.Мәтіндік есептерді шығаруға үйрету.

Мәтiндiк есептердi шығару оқушылардың ойлау қабiлетiн дамытуға, функционалдық тәуелдiлiктiң идеяларын терең түсiнуге, есептеу мәдениетiнiң артуына қолайлы жағдай жасайды. Мұндай есептердi шығару нәтижесiнде оқушылардың нақтылы объектiлер мен құбылыстарды модельдеу бiлiгi мен дағдылары қалыптасады.

5-9 сынып математика курсында мәтiндiк есептердi шығарудың негiзгi екi тәсiлi қарастырылады: арифметикалық және алгебралық. Арифметикалық тәсiл iзделiндi шаманың мәндерiн тiкелей сандық өрнек (сандық формула) құрып, нәтиженi есептеу арқылы анықтайды. Алгебралық тәсiл есептi шығару үшiн құрылатын теңдеулер мен олардың жүйелерiн қолдануға негiзделген.

Озат мұғалiмдердiң тәжiрибелерi теңдеу құруға берiлген есептердi шығару үдерісінде мына кезеңдерге бөлiнетiнiн көрсетедi:

1. Есептiң шартын талдау.

2. Белгiсiз шамаларды анықтап, олардың есептiң шартындағы белгiлi шамалармен арасындағы тәуелдiлiктерiн табу.

3. Теңдеу құру.

4. Теңдеудi шешу.

5. Теңдеудiң шешiмдерiн зерттеу.

6. Есептi тексеру.

7. Есептiң жауабын жазу.

Оқушылардың көпшiлiгi, есептегi берiлген шамаларды айыра бiлмейдi, шамаларды “көрмейдi”. Ондай оқушылардың есеп шығару жөнiнде бiлiмi үстiрт, формальдi болады.

Сондықтан, оқытушыныңалдындатұрғаннегiзгi мақсат – көптегенжаттығуларарқылыоқушылардыесептеқандайшамалартуралыайтылыптұрғанынтезайырабiлугеүйрету. Оқушылар, әдетте, мұғалiмнiңталабынатезүйренiп, есептiңмазмұныноқығандабарзейiнiншамалардытезтабуға, тезiрек “көруге” салады.

Түсiнiктi болуүшiнмысалкелтiрейiк.

1-есеп. “Егiсжоспарбойынша 14 күндеорындалуғатиiседi. өндiрiстiкұжымегiснормасынкүнiне20 гаарттырып, егiстi онкүн iшiндебiтiрдi. өндiрiстiкұжымкүнсайыннешегектаржеректi жәнебарлықеккенжерi нешегектаредi?”

Оқушыларесептiңмазмұнынпайымдапоқыпшыққаннанкейiн, мынадайсұрақтарғажауапбереалатынболуларыкерек:

1. Есепте қандай шамалар туралы айтылған? (Есепте күнiне орындалатын егiстiң нормасы туралы, өндiрiстiк ұжымның барлық еккен жерiнiң ауданы және егiстiң аяқталған мерзiмi туралы айтылған).

2. Осы шамалардың қайсысы өзгередi, қайсысы өзгермейдi? (Бұл есептiң шартына күнiне орындалатын егiстiң нормасы өзгеруiне байланысты егiстi бiтiру мерзiмi – уақыты өзгередi де, ал егiстiң жалпы ауданы өзгермейдi).

Есепте қандай шамалардың сан мәндерi белгiлi, ал қандай шамалардың сан мәндерi белгiсiз? Бiзге мынадай мәлiметтер белгiлi: 14 күн – жоспар бойынша егiстiң орындалуына жұмсалатын уақыт және 10 күн - егiстiң орындалуына жұмсалған уақыт; 20 га - нақтылы орындалған күндiк норма мен жоспардағы күндiк норманың айырмасы. Мұнда үш шаманың сан мәнi белгiсiз: егiстiң жоспар бойынша күнiне орындалуыға тиiс нормасы мен нақты орындағаны және егiстiң жалпы ауданы.

Оқушылар бұл сұрақтарға бiрден жауап беруге қиналатыны сөзсiз. Сондықтан мұндай есептердi шығарудан бұрын арнаулы жаттығулар жүргiзу қажет. Олардың сипаты мынадай болғаны дұрыс:

1. Есептер жинағында жиi кездесетiн шамаларды үнемi қайталап отыру.

2. Екi шаманы атап, олар арқылы қай амалды қолданып, қандай үшiншi шаманы табуға болатынын анықтау.

Мысалы,

а) тауардың жалпы құны және оның саны (данасы, салмағы, ұзындығы);

ә) дененiң жүрген жолы және уақыты;

б) барлық iстелген жұмыс және уақыт;

в) дөңгелек шеңберiнiң ұзындығы және айналу саны;

г) дененiң меншiктi салмағы және оның көлемi;

д) жалпы өнiм және бiр гектардан шыққан өнiм т.с.с.

Оқушылар соңғы сұраққа былай жауап беруi керек: “Осы екi шама арқылы бiз барлық егiлген жердiң ауданын табамыз. Ол бөлу амалымен табылады.”

3. Бiр шаманы атап, осы шаманы қандай басқа бiр екi шама арқылы табуға болатынын анықтау. Мысалы:

а) тауардың бағасынанықтауүшiнқандайекi шамабелгiлi болуыкерек?

ә) дененiң, қозғалысжылдамдығынанықтауүшiнше?

б) бiргектаржерденалынғанөнiмдi анықтауүшiнше?

в) барлық iстелген жұмысты табу үшiн ше?

г) дөңгелектiң шеңберiнiң ұзындығын табу үшiн ше?

д) дененiң меншiктi салмағын табу үшiн ше? т.с.с.

Мысалы, оқушылар бiрiншi сұраққа былай деп жауап беруi керек: тауардың бағасын анықтау үшiн тауардың мөлшерiн және оның жалпы құнын бiлу керек.

4. Белгiсiз шамалардың қайсысын х әрпi арқылы белгiлеу керек екенiн анықтау және басқа белгiсiз шамаларды есептiң шартындағы белгiлi шамалармен белгiсiз шама арқылы өрнектеу. Белгiсiз шаманы әрiп арқылы белгiлеуде, яғни белгiсiз шама деп қай шаманы алу керектiгiн анықтауда мынадай үш жағдайдың бiрi кездеседi:

а) белгiсiз шамаға есептiң шарты бойынша iзделетiн шама (есептiң сұрағындағы шама) алынады;

ә) белгiсiз шамаға есептiң шарты бойынша iзделетiн бiрнеше белгiсiз шамалардың бiреуi (есептiң сұрақтарының бiреуi) алынады;

б) белгiсiз шамаға есептiң сұрағында жоқ басқа бiр шама алынады.

“Пароход өзеннiң ағысымен 100 км және ағысына қарсы 64 км жүрiп, бұған 9 сағ уақыт кетiрдi. Екiншi ретте осындай уақыттың iшiнде ол өзеннiң ағысына қарсы 80 км және өзеннiң ағысымен 80 км жол жүрдi. Пароходтың тұнық судағы жылдамдығын және өзен ағысының жылдамдығын табыңдар”.

Қозғалысқа берiлген есеп болғандықтан мұнда пароходтың жүрген жолы, оған кеткен уақыты және оның жылдамдығы туралы айтылып отыр. Пароход ағын суда жүргендiктен оның тұнық судағы жылдамдығы мен өзеннiң ағысының жылдамдығын белгiлеп алсақ, онда оның өзен ағысымен және ағысқа қарсы жүргендегi жылдамдығы табылады. Есепте пароходтың жүрген жолы белгiлi, сондықтан теңдеу құру үшiн ендi оның уақытын белгiлеу қажет.

Егер пароходтың тұнық судағы жылдамдығын км/сағ, ал өзеннiң ағысының жылдамдығын у км/сағ деп белгiлесек, онда оның өзен ағысымен жүрген жылдамдығы ( +у) км/сағ, ағысына қарсы жүрген жылдамдығы ( -у) км/сағ болады. Пароход бiрiншi ретте өзеннiң ағысымен

.

Ал екiншi ретте ол өзеннiң ағысымен сағ, ағысына қарсы сағ жүрiп, онда да 9 сағ уақыт кетiргенiн ескерсек, мынадай теңдеу шығады:

Сонымен құрылатын жүйе:

Егер де бiз бұл жүйенiң теңдеулерiн бүтiн түрге келтiрiп шығарсақ, екiншi дәрежелi екi белгiсiзi бар екi теңдеулер жүйесi шығады. Оны оқушылар әлi шығара бiлмейдi. Сондықтан мұндай қосымша белгiсiздер ендiру көмегiмен бiрiншi дәрежелi екi белгiсiзi бар екi теңдеулер жүйесiне келтiрiледi. Сонымен, құрылған жүйенi шешу үшiн , деп қосымша белгiсiздер ендiрсек, u және v арқылы белгiленген бiрiншi дәрежелi екi теңдеулер жүйесi шығады:

Онышешкенде , болады. Ендi u мен υ-нiң мәнiнорнынақойсақ:

,

шығады.

Демек,

Бұдан х=18, у=2, яғни пароходтың тұнық судағы жылдамдығы 18 км/сағ, ал өзен ағысының жылдамдығы 2 км/сағ екен.