§6.Линейное дифференциальное уравнение m-ного порядка

(6.1)

- линейный дифференциальный оператор m-ного порядка.

(6.1)

Для решения задачи Коши возведем

(6.3)

(6.1)~(6.3)

Теорема 6.1

При любых решение задачи Коши (6.1), (6.2) существует, единственно и определено на всем

Рассмотрим - решение однородного уравнения

(6.6)

является решением системы .

(6.5) линейно зависима (6.6) линейно зависима.

(6.5) линейно независима (6.6) линейно независима.

Определение.

Определителем Вронского системы функций называется

Теорема 6.2 (О свойствах определителя Вронского)

1) Если система функций (6.5) линейно зависима, то на.

2) Если (6.5) – система решений однородного уравнения (6.1), то

• Либо наи система линейно зависима

• Либо наи система линейно независима

Теорема 6.3 (Формула Остроградского-Лиувилля)

Пусть - система решений однородного уравнения.

Пусть - произвольно. Тогда.

Определение.

Система линейно зависимых решений однородного уравненияназывается ФСР.

(6.5) – ФСР для

(6.6) – ФСР для

Теорема 6.4

ФСР для однородного уравнения существуют (их бесконечно много).

Теорема 6.5 (об общем решении однородного уравнения)

Пусть - ФСР. Тогда всякое решение однородного уравненияможет быть представлено в виде

, (6.7)

где - некоторые постоянные.

С другой стороны, при любом выборе постоянных формула (6.7) дает решение однородного уравнения.

Теорема 6.6. (Об общем решении неоднородного уравнения )

Пусть - ФСР, а- частное решение неоднородного уравнения. Тогда всякое решение неоднородного уравненияимеет вид

(6.8)

с некоторыми постоянными .

С другой стороны, при любом выборе (6.8) дает решение неоднородного уравнения.

Метод вариации постоянных.

Лекция №13.

Восстановление уравнения по фундаментальной системе его решений.

- ФСР

- непрерывно дифференцируемы наи линейно независимы,

Разложим определитель по первому столбцу (начиная снизу):

- решения, причем линейно независимые. Их m штук.

§7.Структура общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

- постоянные

Комплексная экспонента:

- решение

Пусть А – некоторая матрица. Тогда - Жорданова форма матрицыА.

- циклическое подпространство, соответствующее .

Базис в

(7.1)

(7.2)

(7.2) распадается на n независимых частей. Одна из них:

Упростим:

Дифференцируем:

Решение (7.1) может быть выписано в явном виде

(7.3)

Для матрицы А простой структуры (в ней -диагональна)

(7.4)

А – матрица с постоянными и вещественными коэффициентами.

Лекция №14.

- общее решение. (*)

В частности, для матриц простой структуры:

(*)

Когда матрица А с вещественными коэффициентами - решение.

Пусть А – вещественна с постоянными элементами и А простой структуры.

1) ситуация, когда - вещественны, имеем дело с вещественной экспонентой.порождаетвещественные.

стало произвольным вещественным числом.

2) ситуация, когда ,- вещественные числа,.

- произвольны и вещественны.