3. Представление событий автоматами.

Пусть X={x₁,…,x_m} произвольный входной алфавит, а X^* - множество всех слов в этом алфавите. Тогда любое подмножество EX^* называется событием в алфавите X. Далее будем рассматривать автоматы без выходов.

Событие E называется представимым в автомате S = <X, Q, , q₁, F>, если (q₁, x)F тогда и только тогда, когда xE. Всякому автомату при данных q₁ и F однозначно соответствует представимое в нём событие: на графе автомата оно соответствует множеству путей, ведущих из q₁ в вершины, принадлежащие множеству заключительных состояний F. Событие называется представимым, если существует конечный автомат, в котором оно представимо. Синонимом этого понятия является: множество определимое или допустимое, или распознаваемое автоматом. Другими словами представимое в автомате событие можно назвать множеством, разрешимым автоматом.

Оказывается, что не все события представимы в автоматах. Об этом говорит следующая

Теорема. Существуют события, не представимые в автоматах, а именно: никакая непериодическая бесконечная последовательность не распознаваема конечным автоматом.

Из этой теоремы следует, что класс множеств, распознаваемых автоматом, есть лишь часть (собственное подмножество) класса разрешимых множеств. Отсюда и из теоремы Райса вытекает, что свойство множества “быть представимым в конечном автомате” алгоритмически неразрешимо.

4. Понятие регулярного события

Определим три операции над событиями R и S в алфавите X.

1. Объединением (дизъюнкцией) событий R и S называется событие P, обозначаемое P = RS, которое образуется обычным теоретико-множественным объединением множеств R и S.

2. Умножением (конкатенацией) событий R и S будет событие U =RS, состоящее из слов вида: u = rs, где uU, rR, sS, то есть слова события U образуются приписыванием справа любого слова события S к любому слову события R.

3. Итерацией события R называется событие R^* = eRRRRRR…Rⁿ… = .

Одноэлементные события, т.е. события {x_i}, где x_iX, называются элементарными и обозначаются буквами x_i. Событие e, образованное пустым словом e, состоит из одного слова нулевой длины и также относится к элементарным.

Событие называется регулярным, если оно может быть получено из элементарных событий путём конечного применения операций: объединение, умножение и итерация, которые также называются регулярными.

5. Понятие источника

Источник (переходный граф сигналов, сигнальный граф) – это ориентированный граф, в котором выделены начальные и заключительные вершины, и на каждом ребре написана буква из алфавита X, либо e – пустое ребро. Каждый источник H однозначно определяет некоторое событие E в алфавите X, порождаемое множеством путей из начальных вершин в заключительные. Источники, представляющие одно и то же событие, называются эквивалентными. Частный случай источника – автомат без выхода.

Для любого источника H можно построить эквивалентный источник H₀ с двумя полюсами (с одной начальной вершиной и одной заключительной). Для такого построения нужно в H₀ ввести новую вершину q₀ (единственная начальная вершина) и соединить её пустыми рёбрами с прежними начальными вершинами в H, а также новую вершину q_z (единственную заключительную) и соединить с ней все заключительные вершины в H пустыми рёбрами. В остальном H₀ совпадает с H.