Вопросы второй группы

1. Алфавитное и автоматное отображение. Их различие.

Пусть X={x₁,…,x_m} и Y={y₁,…y_k} – два произвольных множества, называемые алфавитами. Их элементы будем называть буквами алфавита. Конечную упорядоченную последовательность букв назовём словом в данном алфавите. Обозначим X^* и Y^* - множества всех слов в алфавитах X и Y соответственно. Тогда произвольное преобразование дискретной информации можно задать как однозначное отображение S множества слов X^* в множество Y^*. Отображение S называется алфавитным отображением или алфавитным оператором, а алфавиты X и Y – входным и выходным алфавитами оператора S. Каждому входному слову x оператор S сопоставляет выходное слово y. Поэтому для каждого xX^* существует своё yY^* такое, что y = S(x). То есть S есть функция, область определения которой X^*, а область значений - Y^*.

Любой абстрактный автомат реализует некоторый оператор S или индуцирует некоторое отображение S. При появлении на входе автомата некоторого входного слова x на основании функции перехода : Q  XQ

и функции выхода : Q  X Y будет сгенерировано выходное слово y. Соотнося каждому входному слову соответствующее ему выходное, получим искомое отображение, которое и является автоматным отображением или автоматным оператором. Если результатом применения оператора к слову x будет выходное слово y, то это обозначается так: S(q₁,x) = y или S(x) = y.

Автоматное отображение можно определить индуктивно, для этого нужно определить расширенные функции перехода и выхода, распространив их область определения на всё множество входных слов X^*:

(q_i, x_j) задано первоначально,

(q_i, x, x_j) = ((q_i, x), x_j),

(q_i, x, x_j) = ((q_i, x), x_j).

Тогда, автоматное отображение S можно определить следующим образом:

a) S(q_i, x_j) = (q_i, x_j)

b) S(q_i, x, x_j) = S(q_i, x) ((q_i, x), x_j)

Различие между алфавитным и автоматным отображением заключается в том, что во втором случае для определения выходного слова необходимо знать текущее состояние автомата q_i. Причём генерация выходного слова происходит при помощи двух функций автомата: перехода  и выхода . Таким образом, автоматный оператор является отображением: Q  XY.

2. Понятие изоморфизма и эквивалентности автоматов.

Пусть S = <X_S, Q_S, Y_S, _S, _S> и T = <X_T, Q_T, Y_T, _T, _T> есть два автомата. Три отображения f: X_SX_T, g: Q_SQ_T и h: Y_SY_T называются гомоморфизмом автомата S в автомат T, если для любых xX_S, qQ_S, и yY_S выполняются условия:

_T(g(q) ,f(x)) = g(_S(q, x)),

_T(g(q), f(x)) = h(_S(q, x)).

В этом случае автомат T называется гомоморфным автомату S. Если все три отображения сюрьективны, то эта тройка называется гомоморфизмом S на T. Если, кроме того, эти отображения взаимно однозначны, то они называются изоморфизмом S на T. Автоматы, для которых существует изоморфизм, называются изоморфными. Этот факт обозначается так: S~T.

Пусть оба автомата S и T имеют одинаковые входные и выходные алфавиты. Состояние q автомата S и состояние r автомата T называют неотличимыми, если для любого входного слова S(q,x) = T(r,x). Автоматы S и T называют неотличимыми, если для любого состояния q автомата S найдётся неотличимое от него состояние r автомата T и наоборот. Отношение неотличимости между состояниями (и автоматами) рефлексивно, симметрично и транзитивно, а, следовательно, является отношением эквивалентности. Это и явилось основанием называть неотличимость эквивалентностью и говорить об эквивалентных состояниях или эквивалентных автоматах, имея ввиду отношение неотличимости. Переход от автомата S к эквивалентному ему автомату называется эквивалентны преобразованием автомата S.