- •1.1. Основные теоретические сведения.
- •1.2. Непосредственный подсчет вероятностей (классическое определение вероятности, математическая вероятность).
- •1.3. Теоретико-множественный подход к определению вероятности события (геометрическая вероятность, аксиоматический подход).
- •1.4. Частота или статистическая вероятность события
- •Свойства частот.
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Метод гиперплоскостей для построения выпуклой области.
- •Блоки 3, 4
- •2.3. Пример расчета попадания точки в заданную область.
- •2.4. Порядок выполнения лабораторной работы.
- •3.1. Ряд распределения случайной величины X
- •3.2. Многоугольник распределения случайной величины X
- •3.3. Функция распределения случайной величины X
- •3.4. Математическое ожидание случайной величины X
- •3.4. Моменты случайной величины X
- •3.5. Системы случайных величин
- •3.5.1. Матрица распределения
- •3.5.2. Функция распределения
- •3.5.3. Моменты системы случайных величин
- •3.6. Задачи для самостоятельного решения.
- •4.1. Биномиальное распределение
- •4.2. Геометрическое распределение
- •4.3. Гипергеометрическое распределение
- •4.4. Распределение Пуассона
- •Распределение Пуассона . Таблица 4.3.
- •4.4. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
- •5.1. Равномерное распределение
- •5.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •5. 3 . Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Функция распределения
- •Значения плотности стандартного нормального распределения . Таблица 5.2.
- •Значения функции Лапласа . Таблица 5.3
- •5.4. Распределение Эрланга
- •5.5. Распределение (распределение хи-квадрат, закон Пирсона)
- •5.8. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
- •Представление многомерных данных. Таблица 6.1
- •6.2.5. Обращение мм
- •6.2. Задания для самостоятельной работы.
- •7.1. Основные сведения.
- •7.2. Критерий согласия законов распределения а.Н. Колмогорова
- •7.3. Оперативно-статистический контроль качества продукции (одномерный случай).
- •7.4. Задания для самостоятельной работы
- •8.1. Многомерное нормальное распределение
- •8.1.1. Основные сведения из теории
- •8.5.2. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
- •Нормально распределенные случайные числа
- •8.3. Методические рекомендации к теоретическому разделу 1.
- •8.4. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
- •9.1. Метод выделения результата аи
- •9.2. Определение достоверности уравнения множественной линейной регрессии по критерию Фишера, коэффициенту множественной корреляции.
- •10.4. Задания для самостоятельной работы.
- •Тема №11. Экстраполяционный метод прогнозирования (одномерный случай). Прогнозирование состояния.
- •11.1. Метод аппроксимации
- •11.2. Мнемоническое правило вывода решения
- •12.1. Задача о разбиении множества элементов.
- •12. 2. Графовое представление связей между объектами
- •12.3. Построение кратчайшего остовного дерева. Алгоритм Прима в табличной форме.
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Тема №13. Основные характеристики случайных функций.
- •13.1. Основные сведения из теории
- •13.1.1. Закон распределения случайной функции
- •13.1.2. Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайной функции
- •13.1.3. Взаимная корреляционная функция
- •13.2. Стационарные случайные процессы
- •13.2.1. Основные сведения из теории
- •13.2.2. Стационарная случайная функция с дискретным спектром частот
- •13.2.3. Эргодические случайные процессы
- •13.2.4. Определение корреляционной функции из экспериментальных данных
- •13.3. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
- •Тема №14. Анализ временных рядов и прогнозирование
- •14.1. Введение в теорию
- •14.2. Тренд
- •14.2.1. Распознавание типа тренда
- •14.2.2. Оценка параметров тренда
- •14.3. Сезонные колебания
- •14.4. Прогнозирование
- •14.5. Задания для самостоятельной работы.
- •Литература (основная)
- •Дополнительная:
- •Содержание
13.2.3. Эргодические случайные процессы
Существуют стационарные процессы, которые обладают свойством эргодичности: статистические характеристики, полученные осреднением по времени одной реализации (при достаточно большом интервале наблюдения), совпадают с характеристиками, полученными но множеству реализаций (рис. 13.7, 13.8).
Рис. 13.7. Разбиение стационарного эргодического процесса на «множество» реализаций
Имея таким образом сформированное множество реализаций, можно определить интересующие характеристики эргодического случайного процесса:
математическое ожидание;
корреляционную функцию;
дисперсию случайного процесса;
спектральную плотность случайного процесса.
Стационарная
случайная функция
эргодична, если ее корреляционная
функция
неограниченно
убывает по модулю при
.
Рис. 13.8. Представление стационарного эргодического процесса «множеством» реализаций
Следует отметить, что не всякая стационарная случайная функция является эргодичной. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна по времени, является стационарной, но не эргодической (рис. 13.9).
Рис. 13.9. Графики случайного процесса, стационарного, но не эргодического
В
этом случае математические ожидания,
определенные по одной реализации
и
в результате обработки множества
реализаций (рис. 13.9), не совпадают.
Основные статистические характеристики стационарной случайной функции , обладающей эргодическим свойством, определяются следующими выражениями.
;
(13.27)
;
(13.28)
;
(13.29)
.
(13.30)
Учитывая, что начало отсчета времени можно переносить, рассмотренные формулы можно переписать в виде
;
(13.31)
;
(13.32)
;
(13.33)
;
(13.34)
13.2.4. Определение корреляционной функции из экспериментальных данных
Пусть
задана случайная эргодическая функция
на интервале наблюдения Т.
Разделим промежуток времени Т
на N
весьма малых интервалов
так, чтобы функция
мало изменялась на протяжении интервала
и положим
;
;
;
Тогда вместо соотношений (13.27)–(13.30) можно записать:
;
(13.35)
;
(13.36)
;
(13.37)
Для
обеспечения точности оценок порядка
5 %
следует ограничить максимальное значение
:
;
(13.38)
Если
необходимо определить
на большом интервале, то необходимо
увеличить Т.
Пример
13.1.
Случайные функции
и
заданы
своими реализациями (рис. 13.10). Определить
взаимную корреляционную функцию
,
.
Рис. 13.10. Наблюдаемые случайные сигналы
Решение.
По формуле (13.31) при
получим
При
графики функций можно представить в
виде графиков, изображенных на рис.
13.11.
Рис.
13.11. Случайные сигналы
,
для
расчета корреляционной функции
Тогда
.
13.3. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
Задача
13.1.
Случайные процессы заданы графиками
,
.
Определить взаимную корреляционную
функцию
.
Методические указания
При
рассмотрении в задаче 13.1 случая
=
,
что соответствует поиску корреляционной
функции
,
целесообразно использовать аппроксимационный
метод на основе приближенного представления
корреляционной функции в виде
алгебраической суммы экспоненциальных
корреляционных функций. В этом случае
может быть приближенно представлена в
виде такой суммы, что
;
(13.39)
где
– некоторые коэффициенты;
– положительные показатели;
– число слагаемых.
Для
облегчения расчетов по определению
корреляционной функции
можно из системы экспоненциальных
функций
,
,
,
построить на основе метода ортогонализации
Грамма-Шмидта систему
ортогональных нормированных функций
,
,
,
.
Они имеют следующий вид:
,
,
,
,
.
При этом разложении представляется в виде
,
(13.40)
где
.
(13.41)
