Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
информатика и математическая статистика.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
5.71 Mб
Скачать

13.2.3. Эргодические случайные процессы

Существуют стационарные процессы, которые обладают свойством эргодичности: статистические характеристики, полученные осреднением по времени одной реализации (при достаточно большом интервале наблюдения), совпадают с характеристиками, полученными но множеству реализаций (рис. 13.7, 13.8).

Рис. 13.7. Разбиение стационарного эргодического процесса на «множество» реализаций

Имея таким образом сформированное множество реализаций, можно определить интересующие характеристики эргодического случайного процесса:

  • математическое ожидание;

  • корреляционную функцию;

  • дисперсию случайного процесса;

  • спектральную плотность случайного процесса.

Стационарная случайная функция эргодична, если ее корреляционная функция неограниченно убывает по модулю при .

Рис. 13.8. Представление стационарного эргодического процесса «множеством» реализаций

Следует отметить, что не всякая стационарная случайная функция является эргодичной. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна по времени, является стационарной, но не эргодической (рис. 13.9).

Рис. 13.9. Графики случайного процесса, стационарного, но не эргодического

В этом случае математические ожидания, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций (рис. 13.9), не совпадают.

Основные статистические характеристики стационарной случайной функции , обладающей эргодическим свойством, определяются следующими выражениями.

; (13.27)

; (13.28)

; (13.29)

. (13.30)

Учитывая, что начало отсчета времени можно переносить, рассмотренные формулы можно переписать в виде

; (13.31)

; (13.32)

; (13.33)

; (13.34)

13.2.4. Определение корреляционной функции из экспериментальных данных

Пусть задана случайная эргодическая функция на интервале наблюдения Т. Разделим промежуток времени Т на N весьма малых интервалов так, чтобы функция мало изменялась на протяжении интервала и положим

;

;

;

Тогда вместо соотношений (13.27)–(13.30) можно записать:

; (13.35)

; (13.36)

; (13.37)

Для обеспечения точности оценок порядка 5 % следует ограничить максимальное значение :

; (13.38)

Если необходимо определить на большом интервале, то необходимо увеличить Т.

Пример 13.1. Случайные функции и заданы своими реализациями (рис. 13.10). Определить взаимную корреляционную функцию , .

Рис. 13.10. Наблюдаемые случайные сигналы

Решение. По формуле (13.31) при получим

При графики функций можно представить в виде графиков, изображенных на рис. 13.11.

Рис. 13.11. Случайные сигналы , для расчета корреляционной функции

Тогда

.

13.3. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы

Задача 13.1. Случайные процессы заданы графиками , . Определить взаимную корреляционную функцию .

Методические указания

При рассмотрении в задаче 13.1 случая = , что соответствует поиску корреляционной функции , целесообразно использовать аппроксимационный метод на основе приближенного представления корреляционной функции в виде алгебраической суммы экспоненциальных корреляционных функций. В этом случае может быть приближенно представлена в виде такой суммы, что

; (13.39)

где – некоторые коэффициенты; – положительные показатели; – число слагаемых.

Для облегчения расчетов по определению корреляционной функции можно из системы экспоненциальных функций , , , построить на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта систему ортогональных нормированных функций , , , . Они имеют следующий вид:

,

,

,

,

.

При этом разложении представляется в виде

, (13.40)

где

. (13.41)