Значения функции Лапласа . Таблица 5.3

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,5	0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814 0,31594 0,34134 0,38493 0,43319	2,0 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 4,6 4,8 5,0	0,47725 0,49379 0,49534 0,49653 0,49744 0,49813 0,49865 0,49977 0,499968 0,499997 0,49999978 0,49999992 0,49999997

Такое распределение имеет самое важное практическое значение.

5.4. Распределение Эрланга

Формальная модель – имеется стационарный пуассоновский по­ток с интенсивностью . Интервал Т, состоящий из суммы К интервалов между событиями, подчиняется закону Эр­ланга К-го порядка.

Плотность распределения

Плотность распределения может быть выражена через функ­цию распределения Пуассона (раздел 4.3).

,

где ;

5.5. Распределение (распределение хи-квадрат, закон Пирсона)

Формальная модель – случайные величины подчинены нормированному нормальному распределению, причем переменных независимы, остальные линейно связаны с этими переменными.

Тогда случайная величина

подчинена – распределению с числом степеней свободы .

Для -распределение достаточно хорошо представляется нормальным законом. Распределение широко используется при статистических расчетах для оценки точности определения дисперсии, для оценки точности согласия различных законов распределения.

5.6. t-распределение Стьюдента

Формальная модель – случайные величины подчинены нормальному распределению с нулевым средним и произвольной дисперсией . Величина не зависит от остальных , а среди имеется линейно независимых величин.

Тогда случайная величина

подчинена t-распределению с числом степеней свободы .

При увеличении числа степеней свободы t-распределение приближается к нормированному гауссовскому распределению (раздел 5.2, практически при ).

Распределение Стьюдента находит широкое применение при статистической оценке параметров распределения, при статистической проверке вероятностных гипотез при неизвестной дисперсии .

5.7. F-распределение Фишера

Формальная модель – случайные величины и подчинены нормальному закону распределения с нулевым средним и произвольной дисперсией .

Величины не зависят от . Кроме того, пусть среди имеется , а среди – линейно независимых величин.

Тогда случайная величина

подчинена F-распределению с числами степеней свободы числителя и знаменателя .

Распределение Фишера находит применение при проверке оценок дисперсий, при статистической проверке вероятностных гипотез о качестве различных моделей случайных процессов.

Пример 5.1. Используя программу MS Excel, построим нормальный закон распределения на интервале (-3;3). Определим функцию распределения и функцию плотности распределения. Для этого воспользуемся стандартной функцией НОРМРАСП (значение; среднее; стандартное отклонение; интегральный). В нашем случае – нормированное нормальное распределение, поэтому среднее равно нулю, а стандартное отклонение - единице. Значит, в ячейке А19 запишем формулу =НОРМРАСП(А18; 0; 1; ИСТИНА), а в ячейке А20 - =НОРМРАСП(А18; 0; 1; ЛОЖЬ). В одной системе координат построим графики функций F(x) и f(x) (рис. 5.1 и 5.2).

Рис. 5.1. Построение таблиц для нормального закона распределения

Рис. 5.2. Графики F(x) и f(x) для нормального закона распределения.