13.1.3. Взаимная корреляционная функция
Пусть на вход линейной системы с оператором L воздействует случайная функция , реакция системы представляет собой случайную функцию
.
(13.16)
Отдельные
реализации
и
представлены на рис. 13.5.
Необходимо при статистическом анализе обращать внимание на номера реализаций. Tак, реализация под № 1 соответствует входной реализации под тем же № 1.
Взаимной
корреляционной функцией двух случайных
функций
и
называется неслучайная функция двух
аргументов
и
,
которая при каждой паре значений
и
равна корреляционному моменту
соответствующих сечений случайной
функции
и случайной функции
:
.
(13.17)
Рис. 13.5. Реализация входной случайной функции и выходной случайной функции
Вычисление
можно определить по формуле для
корреляционных моментов.
Рассмотрим основные свойства взаимной корреляционной функции.
1. Согласно определению (13.17) можно записать
;
.
Довольно
часто вместо корреляционной функции
пользуются нормированной взаимной
корреляционной функцией
.
(13.18)
2. Важным свойством взаимной корреляционной функции является свойство
(13.19)
или
.
(13.20)
3.
От прибавления к случайным функциям
и
неслучайных функций взаимная корреляционная
функция не изменяется.
Пусть
,
.
тогда
,
.
следовательно,
.
4.
При умножении случайной функции
на неслучайную функцию
,
а случайной функции
на неслучайную функцию
взаимная корреляционная функция
умножается на
.
Запишем необходимые соотношения:
;
;
;
;
;
.
Тогда согласно (13.17) будем иметь
.
Пример 13.2. Случайная функция задана тремя своими реализациями (рис.13.6), реакция линейной системы на случайную функцию представлена реализациями (рис. 13.6).
Найти
математическое ожидание случайной
функции
,
,
дисперсии случайной функции
,
,
значение взаимной корреляционной
функции
,
значение нормированной корреляционной
функции
.
Решение.
Задав сечения случайных функций
,
,
получим обычные случайные величины
и
.
Дальнейшие расчеты проводятся аналогично
расчетам из примера 13.1.
Рис. 13.6. Реализации входной случайной функции и выходной случайной функции
13.2. Стационарные случайные процессы
13.2.1. Основные сведения из теории
Стационарным
в узком смысле
называют процесс
,
если его
-мерная
плотность вероятности
зависит только от величины интервалов
,
,
и не зависит от положения
в области изменения аргумента t.
Стационарным в широком смысле называют процесс , математическое ожидание которого постоянно вдоль всего случайного процесса:
,
а
корреляционная функция
зависит только от разности
.
Для стационарного процесса
дисперсия
.
13.2.2. Стационарная случайная функция с дискретным спектром частот
Стационарную
случайную функцию
можно представить в виде разложения
,
(13.21)
где
;
,
–
некоррелированные
случайные величины.
При
этом выполняется условие
,
.
(13.22)
Корреляционная
функция
будет иметь вид
,
.
(13.23)
Это уравнение можно переписать в виде
,
.
(13.24)
Отсюда получим величину дисперсии случайного стационарного процесса
.
(13.25)
Примем
за наименьшую частоту
,
соответствующую периоду 2Т,
а остальные гармонические составляющее
будут кратными
:
;
тогда коэффициенты разложения
в (13.24) получают из соотношения
,
.
(13.26)
Зная
,
можно реализовать «случайную функцию»
с заданной корреляционной функцией на
основе разложения (13.21). Величины
,
задают в виде случайных величин с
дисперсией
.
При этом можно реализовать различные
законы распределения при формировании
величин
,
.