Пифагорейцы

В учрежденном Пифагором союзе философов, изначально ставились не столько научные, сколько религиозные цели: очищение человеческой души для спасения ее от круговорота рождений и смертей. Поэтому в школе действовал ряд строгих предписаний, регламентировавших жизнь членов ордена. Одним из важнейших средств очищения пифагорейцы считали научные занятия, прежде всего занятия математикой и музыкой. Религиозно мотивированный интерес к числам явился предпосылкой к созданию пифагорейцами математической теории.

«Античные философы, выработав необходимые средства для перехода к теоретическому пути развития математики, пред­приняли многочисленные попытки систематизировать мате­матические знания, добытые в древних цивилизациях, путем применения процедуры доказательства (Фалес, пифагорейцы, Платон). Этот процесс завершился в эпоху эллинизма созда­нием первого образца развитой научной теории — Евклидо­вой геометрии».¹

Греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу. Пифагорейцы не просто решали практические задачи, но стремились объяснить с помощью числа природу всего сущего. Они постигали сущность чисел и числовых отношений, надеясь через них понять смысл всего мироздания. Так возникает первая в истории попытка осмыслить число как миросозидающий и смыслообразующий элемент.

Античные источники свидетельствуют, что Пифагор занимался не только математикой. Помимо учения о бессмертии души, ее божественной природе и ее перевоплощениях, Пифагор учил о том, что все в мире есть число, занимался исследованием числовых отношений, как в чистом виде, так и применительно к музыкальной гармонии, которая, по преданию, именно им была открыта. Ему, видимо, принадлежит также учение о беспредельном и пределе и представление о беспредельном как четном, а о пределе — как нечетном числе.

С представлением о противоположности предела и беспредельного связана также космология ранних пифагорейцев, согласно которой мир вдыхает в себя окружающую его пустоту и таким образом в нем возникает множественность вещей. Число, т.е. множество единиц, возникает тоже из соединения предела и беспредельного. Мир, мыслится пифагорейцами как нечто завершенное, замкнутое (предел), а окружающая его пустота — как нечто аморфное, неопределенное, лишенное границ, беспредельное. Противоположность «предела» и «беспредельного» принадлежит к ряду мифологических оппозиций, имеющим ценностно-символический смысл: свет и тьма, доброе и злое, чистое и нечистое и т.д. Из этих противоположностей строится все существующее, и само число рассматривается тоже как состоящее из противоположностей — чета и нечета.

Единое, или единицу (monē), пифагорейцы наделяли особым статусом: единица для них — это не просто число, как все остальные, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно приобщиться к единице (стать единым). Очевидно, что определение единицы в VII книге «Начал» Евклида заимствовано из пифагорейской нумерологии: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым». Первое нечетное число (тройка) у пифагорейцев соотносилось с пределом, поскольку оно имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое. Тройка, по мнению пифагорейцев, — это элементарный треугольник, совершенная фигура. Первое четное число (двойка) соотносится с беспредельным, поскольку она не имеет центра и задает линию, неограниченно простирающуюся в обе стороны

Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение числа, по-видимому, восходит к мифологической и ритуальной символике, но у пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней Греции.

Особое внимание пифагорейцы уделяли вопросу о пропорциональных отношениях чисел, о «соразмерностях» между ними, которые пифагорейцы называли гармониями. Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при определенных соотношениях длин струн, они издают приятный (гармонический) звук, а при других — неприятный (диссонанс). Таким образом, «гармония» стала у пифагорейцев математическим понятием, объемлющим противоположности (предел и беспредельное) в их единстве.

Однако поиски гармонических соразмерностей привели пифагорейцев к обнаружению несоизмеримости некоторых чисел (например, при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата) Открытие иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало, видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии пифагорейцев. Это открытие впервые заставило рождающуюся греческую науку задаться вопросом о собственных предпосылках. Ведь те понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Таким образом, открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина.