Задача 7

На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12 %.

Решение:

а) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 12 %, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,12. Поэтому индекс инфляции за 18 месяцев (6 кварталов или 1,5 года) составит:

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)^1,5 = 1,9738.

Отсюда:

. Таким образом ставка должна превышать 56,64 % годовых.

б) приравнивая индекс инфляции за 18 месяцев к множителю наращения и получим квадратное уравнение относительно r:

,

Определим корни r = -3,562, r = 0,562. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит.Следовтельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 56,20 % годовых,.

Начисление процентов по смешанной схеме более эффективно, чем в первом случае.

Ответ: а) r > 56.64%, б) r > 56.20 %.

Задача 8

Клиент в конце каждого года вкладывает 30 тыс. рублей в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 10 % годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через: а) 3 года; б) 8 лет; в) 15 лет. Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале года?

Решение: Для определения суммы, которая будет на счете клиента, воспользуемся формулой ,

вычислим по формуле . Пусть А = 30,r = 10% = 0,10.

а) n = 3, то ;

тыс. руб.

б) n = 8, то

тыс. руб.

в) n =15, то

тыс. руб.

Если платежи будут поступать в начале года суммы изменяться следующим образом:

а) ;

тыс. руб.

б)

тыс. руб.

в)

тыс. руб.

Ответ: если вклад вносить в начале года сумма увеличивается.

Задача 9

Клиент хочет накопить 800 тыс. руб., осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 16 % годовых. Какой величины должен быть вклад, чтобы накопить требуемую сумму: а) за 5 лет; б) 10 лет.

Решение: Воспользуемся формулой . И найдем А:

. вычислим непосредственно по формуле.

1) FV = 800, r = 16 % = 0,16, n = 5. ,

тыс. руб.

2) FV = 800, r = 16 % = 0,16, n = 10. ,

тыс. руб.

Ответ: чтобы накопить требуемую сумму клиент должен вкладывать в конце каждого года а) за 5 лет 116,328 тыс. руб., б) за 10 лет 37,521 тыс. руб.

Задача 10

Какую сумму необходимо поместить в банк под процентную ставку 20 % годовых, чтобы в течение 9 лет иметь возможность ежегодно получать по 120 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 2 месяца и в конце девятого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

Решение: Определим приведенную стоимость аннуитета постнумерандно, при

А = 20 тыс. руб., так как деньги снимаются равными долями каждые 2 месяца, т.е. 6 раз в год 12 / 2 = 6; А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 1.

Воспользуемся следующей формулой:

.

тыс.руб.

б) А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 4; p = 1.

В данном случае воспользуемся формулой

; ;

тыс.руб.

в) А = 120 / 6 = 20 тыс. руб.; n = 9∙6 = 54; r = 20 % / 6 = 0,0333; m = 12; p = 1.

Воспользуемся формулой .

; ;

тыс.руб.

Ответ: необходимо поместить в банк под процентную ставку, если сложные проценты начисляются: а) ежегодно – 497,87 тыс. руб.; б) ежеквартально – 493,906 тыс. руб.; в) ежемесячно – 492,977 тыс. руб.