GOSy_po_vsemu_vnutr

Хотя начальные условия не влияют на стационарные значения, они определяют характер кривых, описывающих изменения переменных состояния при переходе от начального состояния при t=0 к стационарному при t→∞.

На примере этой модели А.Б Рубин (1998) показал, что даже такая, до предела упрощенная, модель отражает основные черты совокупности метаболических реакций клетки как открытой системы. Она может быть использована для описания обменных процессов и в других открытых системах, например, в почве, что является еще одной демонстрацией

универсальности математических моделей.

Если модели, описывающие различные объекты, основаны на одинаковых предположениях, то для их описания могут быть использованы одни и те же математические выражения. Как отмечал великий французский математик Анри Пуанкаре : "Математика - это

искусство давать разным вещам одно наименование".

Назад

15. Учет временной иерархии процессов при построении динамических моделей («быстрые», «средние» и «медленные» переменные).

Для продвинутых кратко.

Помочь получить модель системы, содержащую наименьшее число переменных состояния и параметров, и в то же время правильно отражающую ее основные свойства, представляющие интерес в соответствии с поставленными задачами, может учет временной иерархии изучаемых

процессов. Принимая во внимание характерные времена изучаемых процессов,

можно разделить переменные состояния исходной модели на «быстрые», «средние» и «медленные». Предположим, что исходная модель описывает динамику трех переменных с различными характерными временами:

Причем

Пусть мы наблюдаем за переменной y . Тогда за время Ty совсем медленная переменная z практически не будет изменяться и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z*. В этом случае исходную систему можно представить следующим образом:

Рассмотрим теперь уравнение для х. Эта «быстрая» переменная за время Ty успеет достичь стационарного значения. Поэтому для нее дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим:

Таким образом, благодаря учету иерархии времен систему трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению:

В химии метод такого упрощения системы носит название метода квазистационарных концентраций (КСК).

Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью (каталитические, ферментативные , биохимические процессы).

Ниже более подробное объяснение с решением системы

Динамические-учитывают изменения и в пространстве и во времени. Бывают точечные (дифф уравнения) и пространственные (уравнения в частных производных). Коротко-временая шкала – часы, сутки, сезоны (м/о, ОВП, влажность); средне-временная – десятки, сотни лет; долго-временная – сотни, тысячи лет. Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений. «Совсем медленные» переменные (z) не меняются на временах рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами. Для «быстрых» переменных(х) можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными» (y). Пусть имеется три группы переменных с различными характерными временами: dx/dt=P(x,y,z), dy/dt=Q(x,y,z), dz/dt=F(x,y,z),

переменные изменяются с разными характерными временами, причем Tx<<Ty<<Tz. Пусть мы наблюдаем за переменной y, характерное время изменения которой – Ty. Тогда за время Ty «совсем медленная» переменная z практически не будет изменяться, и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z*. Система дифференциальных уравнений с учетом этого обстоятельства будет содержать два уравнения и может быть записана в виде: dx/dt=P(x,y,z*), dy/dt=Q(x,y,z*). Отметим, что z* не является

истинно стационарным значением, «медленная» переменная z будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые переменные x и y. В этом смысле медленная переменная является ведущей, или «параметром порядка». Рассмотрим теперь уравнение для x. Эта «быстрая» переменная изменяется значительно быстрее, чем y, и за время Ty успеет достичь своего стационарного значения. Значит, для переменной x дифференциальное

уравнение можно заменить алгебраическим: P(x,y,z*)=0 или . Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному

уравнению для переменной y: . Строгим обоснованием применимости этого метода является теорема Тихонова.

Назад

16. Качественное исследование динамических моделей. Основоположники качественной теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости стационарного состояния.

Качественное исследование динамических моделей.

В случае сложных динамических моделей с большим числом переменных состояния, отражающих нелинейные взаимодействия в почвах и экосистемах, возникают серьезные математические трудности в поиске аналитических решений, если их вообще можно получить. В то же время, методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют определить важные динамические свойства системы, не прибегая к поиску решения системы уравнений.

Качественное исследование системы дифференциальных уравнений

эффективно тогда, когда нужно предсказать характер динамического поведения системы и нет необходимости в поиске точного решения уравнений, поскольку начальные условия, значения внешних переменных и параметров системы сильно варьируют и не могут быть точно заданы. Именно с такой ситуацией обычно приходится сталкиваться при решении проблем почвоведения и экологии. Основоположники качественной теории дифференциальных уравнений: французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), русский математик Александр Михайлович Ляпунов (18571918). Качественное исследование динамических моделей дает хорошие результаты при исследовании моделей, представленных небольшим числом дифференциальных уравнений. Поэтому прежде чем приступить к качественному исследованию модели необходимо сократить число уравнений в исходной модели, оставив только те, которые отражают

наиболее важные динамические свойства системы. Проводить редукцию количества уравнений модели нужно очень осторожно, так как есть риск потерять важные характеристики моделируемой системы и не только обеднить модель, но и сделать ее вообще

неадекватной.

В первую очередь нас будут интересовать два вопроса: Как найти стационарные состояния? Как определить их устойчивость? Рассмотрим

модель с одной переменной состояния, динамику которой описывает одно дифференциальное уравнение первого порядка: dx/dt=f(x). Пусть f(x) - - аналитическая функция. Найдем стационарные (особые) точки, обозначив их x̅. По определению, в этих точках dx/dt=0. следовательно, из условия f(x)=0 определим стационарные значения x̅. Наиболее важным свойством стационарного состояния является его устойчивость. В математике существуют разные определения понятия устойчивость. В дальнейшем мы будем использовать одно из основных – устойчивость по Ляпунову. Устойчивость определяется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после внешнего возмущения, выводящего систему из стационарного состояния. Стационарное состояние системы называется устойчивым, если при достаточно малом отклонении от стационарной точки система никогда от нее далеко не уходит. Если при выходе из стационарного состояния система удаляется от него, то оно является неустойчивым Стационарное состояние устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда остается малым.Стационарное состояние называется неустойчивым, если малое отклонение со временем увеличивается. Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малые отклонения от него со временем затухают.

Состояние А является устойчивым, так как после слабого возмущения система будет возвращаться в точку А. Напротив, состояние В неустойчиво, если в результате слабого возмущения система отклоняется от точки В, она в нее не возвращается.

Александром Михайловичем Ляпуновым был предложен аналитический метод определения устойчивости стационарных состояний, приложимый к широкому классу систем дифференциальных уравнений. Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим простую динамическую модель: dx/dt=f(x). Пусть система отклонилась от стационарного состояния x̅ и перешла в соседнюю с ним точку x̅+ γ, где γ -малое отклонение от стационарного состояния такое, что γ/x̅<<1. Перейдем от переменной х к переменной γ, получим: d(x̅+γ)/dt=dγ/dt=f(x̅+γ). Разложим стоящую в правой части этого уравнения функцию f(x̅+γ) в ряд Тейлора в точке x̅. dγ/dt=f(x̅)+f’(x̅)γ+1/2f”(x̅)γ2+… Принимая во внимание, что f(x̅)=0 и вводя обозначения a1=f’(x̅), a2=0.5*f”(x̅) перепишем выражение в виде: dγ/dt=a1γ+a2γ+… Отбросим нелинейные члены в этом уравнении как величины более высокого порядка малости и получим линейное уравнение:dγ/dt=a1γ. Это уравнение называется линеаризованным или уравнением первого приближения. Решение линеаризованного уравнения

находится сразу: γ(t)=Ceλt где С – произвольная постоянная, λ=a1=f’(x̅). Если

λ<0, то при t→∞ γ →∞, а следовательно первоначальное отклонение от стационарного состояния самопроизвольно затухает в силу характера поведения нашей системы. Таким образом стационарное решение рассматриваемого уравнения устойчиво по Ляпунову. Наоборот, если λ>0, то t→∞ γ →∞ и стационарное состояние неустойчиво. Если λ=0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния системы. Необходимо рассматривать члены более высокого порядка в разложении Тейлора. Аналогичные рассуждения приводятся при рассмотрении устойчивости стационарного состояния более сложных динамических систем. Метод Ляпунова позволяет по знаку производной правой части исходного уравнения получить ответ на вопрос об устойчивости его стационарных состояний.

Назад

19. Аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (метод Ляпунова).

Критерий Ляпунова для системы из 2-ух уравнений.

λ > 0 - не устойчив., λ < 0 - устойчивая сост, если λ = 0, то учитывают производную следующего порядка. (для продвинутых, подробнее см ниже)

Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольшом отклонении системы от состояния равновесия.

Введем вместо переменных x, y новые независимые переменные ξ, η, определив их как смещения относительно равновесных значений переменных, т.е. x=x̅+ξ; y=y̅+η. Теперь проделаем следующую операцию, подставим выражения в уравнения dx/dt=P(x,y) и dy/dt=Q(x,y)

соответственно, получим: dx̅/dt+dξ/dt=P(x̅+ξ, y̅+η) и dy̅/dt+dη/dt=Q(x̅+ξ, y̅+η), dx̅/dt=dy̅/dt=0,

так как x̅и y̅ - координаты особой точки. Теперь разложим как и в случае одного уравнения, правые части полученных уравнений в ряд Тейлора соответственно по переменным ξ и η, отбросим нелинейные члены. Получим систему линеризованных о уравнений: dξ/dt=aξ+bη, dη/dt=cξ+dη, где

коэффициенты a, b, c, d суть значения частных производных в точке (x̅,y̅), т.е. a=P’x(x̅,y̅), b= P’y(x̅,y̅), c=Q’x(x̅,y̅), d= Q’y(x̅,y̅). Вернемся к нашим линейным уравнениям, общее решение системы находим следующим образом: ξ=Aeλt, η=Aeλt, подставив эти выражения в dξ/dt=aξ+bη, dη/dt=cξ+dη, в получившемся выражении сократим на eλt, в итоге получим λA=aA+bB; λB=cA+dB.

Получившаяся система уравнений с неизвестными А и В имеет, как известно, ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:{(a-λ)/c}+{b/(d-λ)}=0 Раскрыв определитель, получим так называемое характеристическое уравнение системы: λ2-(a+d)λ+(ad-bc)=0, решение этого уравнения дает значения показателя λ1,2, при которых ненулевые для А и В решения системы: λ1,2=(a+b)/2+√((a+b)2/4+bc-ad). Если подкоренное выражение отрицательно, λ1,2 – комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения λ2-(a+d)λ+(ad-bc)=0 имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы dξ/dt=aξ+bη, dη/dt=cξ+dη, записанное в виде ξ=Aeλt, η=Aeλt, можно представить линейной комбинацией экспонент с показателями λ1 и λ2: ξ=С11eλ1t+ С12eλ2t, η= С21eλ1t+

С22eλ2t.

Подведем итоги, в случае если ad-bc≠0 возможны 6 типов

состояния равновесия в зависимости от характера корней

характеристического уравнения:

1.утойчивый узел (λ1 и λ2 действительны и отрицательны); 2.неустойчивый узел (λ1 и λ2 действительны и положительны); 3.седло (λ1 и λ2 действительны и имеют разные знаки); 4.устойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Reλ<0); 5.неустойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Reλ>0);

6. центр (λ1 и λ2 – мнимые).

Re – это действительная часть комплексного числа, мнимая часть комплексного числа – Im.

Назад

20. Качественное исследование логистической модели.

Качественное исследование логистической модели

Логистическая модель была впервые предложена бельгийским математиком Пьером Франсуа Ферхюльстом (1804-1849) для описания численности населения в условиях ограниченности ресурсов, поэтому в его честь получила название модель Ферхюльста. В основе логистической модели лежат следующие предположения: существует предельная численность популяции К, которую может обеспечить окружающая среда. Параметр К характеризует «емкость среды»; скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину отклонения от предельного значения. Модель Ферхюльста имеет следующий вид: dx/dt=qx(1-x/K). Начнем исследование с поиска стационарных значений численности популяции. Из условия: dx/dt=qx(1-x/K)=0 получим два стационарных значения: x̅1=0. x̅2=K. Определим их устойчивость. В соответствии с аналитическим методом определения устойчивости Ляпунова для этого нужно определить знак производной функции f(x) в стационарных точках. Производная равна: f(x)=(qx-q*x2/K)=q-2qx/K. Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Линейные модели отвечают частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, модели динамики популяций сразу становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. Они основаны на предположении о предельной численности популяции. Эта величина, называемая емкостью экологической ниши популяции, определяется ограниченностью пищевых ресурсов, мест для гнездования, и многими другими факторами, которые могут быть различными для разных видов. Заметим, что предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний. Впервые ограничиненный рост популяции описал Ферхюльст в логистической модели в 1838 году: dx/dt=qx(1-x/K). Подставим стационарные значения: f(x̅1)=q-2qx/K|x=x̅1=q. Показатель удельной скорости роста q величина положительная. Следовательно стационарное состояние x̅1=0 неустойчиво. В точке x̅2=K производная отрицательна, f(x̅2)=q-2qx/K|x=x̅2=-q

а значит, стационарное состояние x̅2=K является устойчивым. Логистическое