GOSy_po_vsemu_vnutr

10. Этапы построения математических моделей сложных динамических систем. Постановка задачи; выбор объекта исследования и определение его временных и пространственных границ; сбор необходимых данных и оценка их качества; выбор типа модели; концептуализация модели; формализация модели; выбор метода решения; реализация модели; верификация модели; анализ чувствительности; калибровка; проверка; заключительный синтез.

1.Определение проблемы (ЦЕЛИ: синтез и представление знаний о системе, планирование экспериментов, выявление приоритетов, исследование, проверка гипотез, прогнозирование, выбор оптимального управлдения)

2. Временные и пространственные границы исследования (S – локальная, катена, ландшафт, регион; t – часы, сутки, дни…)

3. Сбор необходимых экспериментальных данных и оценка их к-ва-сбор информации, анализ лит. источников и уже имеющихся моделей; определение типа модели и уровня ее сложности, задание точности и пр.

4. Выбор типа и сложности модели.

5.Концептуализация модели. Определение множества переменных состояния, задание внутреннего состава системы, задание параметров окружающей среды (существенные в конкретной данной задаче, важные на наш взгляд), определяем определяющие параметры, если есть; устанавливаем связь друг с другом и с окружающей средой, определяем структуру системы; определение внутреннего состава и структуры каждого блока, сбор в общую структуру – модель; временной шаг у разных блоков м.б. не одинаков; построение потоковой диаграммы, для отражения качественной структуры модели,

используется язык Форестера)

6.Формализация модели. Переход от качественного подхода к математическому аппарату, т.е. определение математических соотношений, описывающих поведение и св-ва объекта моделирования, т.е. для каждой стрелки – уравнение + начальные и граничные условия (для пространственно-распределенных). Правила: 1. контроль размерностей; 2. контроль порядков значений ( если x+y+z, z<<y z<<x, то z исключаем); 3.

контроль характера зависимости (не противоречие физическому смыслу); 4. контроль экстремальных ситуаций ( какой вид примут матем соотн если параметры будут стремится к макс значению); 5. контроль граничных условий; 6. контроль математической замкнутости (является ли модель математически корректной), может ли система решать поставленную задачу;

7. Выбор метода решений 1. Аналитические выражения и их совокупности (более наглядны, но применимы для наиболее простых моделей, Если есть возможность получить аналитическое решение, его надо получать); 2.

Алгоритмические ( на эвм, численные методы решения, переход от непрерывности к дискретности). Погрешности численных методов:

неточность исх данных и параметров, погрешность метода, ошибки округления. Требования к алгоритму: реализация за опр время, точность за конечное число действий, устойчивость ( если ошибки возрастают то алгоритм называется неустойчивым)

8. Реализация модели в виде программы для ЭВМ (в основном состоят из 3-х блоков: 1.подготовка и проверка исходных данных, 2.решение задачи - реализация алгоритма, 3.отображение полученных результатов) Чаще всего не 1 программа, а их комплекс.

9. Верификация (проверка на наличие ошибок) Проверка правдоподобности, контроль методологической корректности, проверка отсутствия внутренних противоречий.

10. анализ чувствительности- показывает пути усовершенствования модели

(1.насколько решение чувствительно к начальным условиям; 2.чувствительность к параметрам (S=dx/dy, S<0,3 слабая, S=0,3-1 средняя, S>1 высокая); 3.чувствительность к изменению структуры модели)

11. Калибровка – попытка найти наилучшее соответствие между расчетными и экспериментальными данными(чем больше подгона параметров, тем модель менее общая). Она нужна т.к. любая модель-упрощение реальности, особенность почвенно-экологических моделейотсутствие точных значений, есть только диапазон, то есть нужна экспертная оценка. План калибровки: 1. подбор значений параметров или проведение спец эксперимента 2. Верификация модели 3. Выяснение чувствительности модели к каким то параметрам 4. Калибровка 5. Этапы 2-3 повторяются для подгонки под требуемую точность

12. Проверка адекватности-демонстрация того, что модель в области ее применимости воспроизводит эксп данные с точностью, удовлетворяющей

пользователя. Причины неадекватности: параметры, гипотеза, область применимости. Методы проверки адекватности: 1. Графическое сравнение результатов моделирования и эксперимента

(метод Саерта через форму, экстремумы, знак функций диаграмм распределения) 2. Сравнение остатков ( модель удовлетворительна если остатки имеют нормальное распределение, т.к. в этом случае вероятность больших остатков минимальна, а минимальных-максимальна),

остатки не должны зависеть от выходной функции. 3.

Сравнение разброса остатков и эксп данных ( по F

критерию, квадрату дисперсии) 4. Сравнение кривых автокорреляцией 5. Регрессионный анализ( ∆= a+bx, а≠0

значит есть системная ошибка, нужно и a=0 и b=0)

Количественные критерии характеристики адекватности модели-показатель Тейла

где x*i это экспериментальные данные, а xiкомплексные значения, U=0-полное совпадение до 1-плохое совпадение

13. Оптимизация (подгонка тех параметров, которые мы можем поменять, чтобы найти оптимальную позицию, например доза удобрений)

14. Заключительный синтез (написание отчета)- определение области применимости, представление результатов, в каком направлении лучше совершенствовать модель.

Назад

11. Динамические модели. Используемый математический аппарат. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Фазовый портрет. Стационарное состояние системы.

Динамическими системами называют любые системы (физические, химические, биологические, экономические, социальные и.др.), состояние которых изменяется во времени дискретно или непрерывно. В математическом понимании динамической системой является любой объект, для которого однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени. Почва относится к динамическим системам. Функционирование почвы, как целостной системы, является результатом взаимодействия составляющих ее компонентов. Понять динамические свойства почвы можно на основе системного подхода, анализируя поведение каждого из ее компонентов, как результат его взаимодействия с другими компонентами. Одним из наиболее эффективных методов изучения изменений почв с течением времени является построение и анализ динамических моделей. Анализ динамических свойств моделей, характеризующих разные аспекты функционирования почв, позволяет лучше понять особенности ее динамики. Для описания динамических систем используются различный математический аппарат (дифференциальные уравнения, дискретные отображения, теория марковских цепей и др.).

В настоящем курсе мы рассмотрим динамические модели, представленные дифференциальными уравнениями. Математический язык дифференциальных уравнений для описания динамических систем был предложен Исааком Ньютоном (1642-1727). В настоящее время он широко используется при построении моделей в самых разных

областях науки. Для того чтобы определить динамическую систему, модель которой мы хотим построить, нужно задать конечное число переменных, однозначно характеризующих ее состояние. Предположим, что в соответствии с поставленной проблемой, для характеристики состояния почвы выбрано n различных компонентов. Каждый i компонент характеризуется переменной состояния xi. В качестве переменных состояния могут быть выбраны концентрации различных веществ, численность

микроорганизмов, и др. Закон изменения динамической системы во времени можно в общем виде представить системой n дифференциальных уравнений:

(1)

Где xi – переменные состояния ; fi -известные функции;

t -время

Особый интерес представляет случай системы (1), когда правые части не зависят явно от переменной t: (2)

такие системы называются автономными. Динамические модели этого вида получили широкое распространение в почвоведении и экологии .

Решение системы представляет собой совокупность функций, характеризующих зависимость переменных состояния от времени:

Лишь для небольшого класса систем дифференциальных уравнений удается найти аналитическое решение, то есть представить зависимость переменных состояния от времени в виде явно заданных математических формул. В большинстве случаев получают только численное решение.

В процессе изменения состояния системы во времени переменные хi изменяются согласно системе уравнений (2). В момент времени t каждому состоянию системы соответствует совокупность n значений переменных хi(t).

Для удобства анализа поведения динамических систем во времени используют понятие n- мерного фазового пространства - абстрактного пространства с осями координат х1, х2,... хi,… хn.. Тогда состояние динамической системы в каждый момент времени можно представить в виде точки этого пространства. Каждая точка Х этого пространства с координатами х1, х2,... хi,… хn соответствует определенному состоянию системы. Точка X(х1, х2,... хi,… хn) называется изображающей или фазовой точкой. Изменение состояния системы сопоставляется с перемещением изображающей точки в фазовом пространстве.

Пусть в начальный момент времени t=t0 координаты изображающей точки

X0(х10, х20,... хi0,… хn0). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений

(2) и принимать положения X(х1, х2,... хi,… хn), соответствующие значениям х 1(t), х 2(t),… х i(t),….. х n(t). Линия, по которой движется изображающая точка в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией.

На фазовой траектории стрелками отмечается направление движения изображающей точки.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных состояния представляет собой фазовый портрет системы. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.

При рассмотрении динамических характеристик модели в первую очередь определяют ее стационарные состояния.

В стационарном состоянии все производные по времени (i = 1…,n) в левых частях системы (2) обращаются в нуль. Приравнивая к нулю правые части системы уравнений (2), получим систему алгебраических уравнений (4) для определения стационарных значений переменных состояния:

dx/dt = f(x)

Начнем знакомство с динамическими моделями с самого простого случая, когда система описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка вида: dx/dt = 0

Стационарное состояние системы.

В стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются со временем. Это означает, что: (6)

Следовательно f(x)=0. Корни алгебраического уравнения (6) являются стационарными состояниями системы (5).

Назад

14. Примеры простейших линейных динамических моделей. Модель Мальтуса (модель экспоненциального роста численности популяции).

Предположим, что скорость изменения значения переменной состояния пропорциональна самому ее значению: dx/dt = kx

Эта простая линейная модель демонстрирует одно из важнейших свойств математических моделей — их универсальность, т. е. их применимость к объектам принципиально различной природы.

Поиск аналитического решения дифференциального уравнения.

Пример: Модель Мальтуса (модель экспоненциального роста численности популяции).

Модель предложена Мальтусом (1766-1834) в 1798 г. в его классической работе «О законе роста народонаселения». Мальтус –известный английский демограф и экономист, обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте ( в геометрической прогрессии), в то время как производство продуктов питания растет линейно ( в арифметической прогрессии), из чего сделал справедливый вывод, что рано или поздно экспонента обязательно обгонит линейную функцию и наступит голод.

В основу модели положено простое утверждение, что скорость изменения

численности населения со временем t пропорциональна его текущей

В качестве еще одного примера динамической модели рассмотрим простейшую линейную модель открытой системы, в которой происходит обмен веществами «а» и «b» с окружающей средой и обратимая реакция первого порядка превращения a↔b.

Где «а» и «b» -переменные состояния, характеризующие концентрации этих веществ в системе; А,B – постоянные концентрации этих веществ во внешней среде; k1,k+2, k-2, k3 – константы скоростей процессов.

Динамическая модель для этой системы имеет следующий вид:

Так как по определению в стационарном состоянии скорость изменения переменных а и b равна 0, следовательно, производные da/dt = 0 и db/dt = 0, то приравнивая к 0 правые части (10),

найдем стационарные значения а и b.

Они не зависят от начальных условий, то есть от значений переменных a и b в момент времени t=0. Это означает, что при каком бы

начальном состоянии система не находилась, в ней со временем установится стационарный режим.