12.3. Аналитическое решение игры 22

Рассмотрим игру размера 22, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение игры существует и определяется парой смешанных стратегий и .

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался второй игрок. Для игры 22 любая чистая стратегия противника является активной, если существует седловая точка. Поэтому средний выигрыш и первого, и второго игрока будет равен цене игры.

Пусть игра задана платежной матрицей

.

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры v:

.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, т.е. , учитывая, что , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

.

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

,

и цену игры

.

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании оптимальной смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен v, т.е.

.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

, .

Рассмотрим пример. Пусть задана платежная матрица игры с нулевой суммой

.

Следовательно, оптимальной стратегией первого игрока будет такая, что .

Поскольку   , то имеем игру в смешанных стратегиях. Оптимальная стратегия первого игрока:

.

Исходя из равенства , имеем . Следовательно, .

Оптимальная стратегия второго игрока:

.

Исходя из равенства , имеем . Следовательно, .

Цена игры:

.

При этом выполнено условие : .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшая их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и заведомо невыгодных стратегий.

12.4. Доминирование стратегий

Говорят, что некоторая стратегия i первого игрока (задаваемая i-й строкой платежной матрицы) доминируется некоторой другой стратегией k первого игрока, если все элементы строки i не больше соответствующих элементов строки k, а именно: .

Аналогичное определение можно привести для стратегий второго игрока, а именно: некоторая стратегия j второго игрока (задаваемая j-м столбцом платежной матрицы) доминируется некоторой другой стратегией k второго игрока, если все элементы столбца j не меньше соответствующих элементов столбца k, а именно: .

Доминирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Это следует из того факта, что доминируемые стратегии могут быть исключены, при этом цена игры не изменяется.

Теорема 4. Если элементы одной строки (столбца) не все меньше (больше) или равны соответствующим элементам других строк, но все меньше (больше) или равны некоторым выпуклым линейным комбинациям соответствующих элементов других строк (столбцов), то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами (вероятностями) использования чистых стратегий.

Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей:

  .

Все элементы второй строки не превышают элементов третьей строки. Следовательно, стратегия, соответствующая второй строке платежной матрицы заведомо невыгодна для первого игрока, и вторую строку можно исключить. Все элементы четвертой строки не превышают соответствующих элементов третьей строки, следовательно, четвертую строку также можно исключить. Получаем матрицу из двух строк:

.

Для второго игрока, сравнивая первую и четвертую стратегии (столбцы), исключаем первый столбец, поскольку все оставшиеся элементы первого столбца превышают соответствующие элементы четвертого столбца, то есть первая стратегия заведомо невыгодна. Аналогично сравнение и второй и четвертой стратегий второго игрока: невыгодна вторая стратегия, исключаем второй столбец. Сравнивая третий и четвертый столбцы, также исключаем третий столбец. В результате преобразований получим матрицу

.

Ее решение найдено ранее. Однако оптимальное решение исходной игры будет иметь отличный вид. Оно должно отразить, что первый игрок не будет использовать вторую и четвертую стратегию, а второй игрок не будет использовать первую, вторую и третью стратегии. Поэтому решение имеет вид:

; ;

.

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с ненулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом, и наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой.