12.2. Смешанные стратегии

Рассмотрим пример игры «четное – нечетное». Два игрока вынимают из колоды по одной игральной карте. Если сумма очков обеих карт четная, то первый игрок получает от второго 1 рубль. Если сумма очков нечетная, то первый игрок платит второму 1 рубль. Платежная матрица данной игры представлена в табл. 12.4.

Таблица 12.4

	Стратегия 1	Стратегия 2	Минимум по строкам
Стратегия 1	1	+1	1
Стратегия 2	+1	1	1
Максимум по столбцам	+1	+1

Данная игра не имеет седловой точки, поскольку не выполняется условие (7.2) равенство максимина минимаксу.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е.  < , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами (вероятностями). Такая сложная стратегия называется смешанной.

Пусть: х₁ – вероятность, с которой первый игрок вынимает карту с нечетным числом очков; х₂ – вероятность, с которой первый игрок вынимает карту с четным числом очков; у₁ – вероятность, с которой второй игрок вынимает карту с нечетным числом очков; у₂ – вероятность, с которой второй игрок вынимает карту с четным числом очков.

Если х₁ и х₂ таковы, что , , , то (х₁, х₂) – смешанная, или случайная, стратегия первого игрока. Аналогично (у₁, у₂) – смешанная, или случайная, стратегия второго игрока, если , , .

В общем случае смешанные стратегии есть векторы х = (х₁, х₂, , х_m) и у = (у₁, у₂, , у_n), для которых

, (12.4)

. (12.5)

Если смешанная стратегия (х₁, х₂, , х_m) такова, что одно из значений х_i = 1, а следовательно, остальные равны нулю, то такая стратегия называется чистой стратегией игрока. Чистая стратегия уже не является случайной. Вспоминая игру в чистых стратегиях, можно записать оптимальную стратегию первого игрока, как х^* = (0, 0, 1), а второго, как у^* = (0, 1, 0).

Подход к определению решения игры при смешанных стратегиях также основывается на критерии минимакса. Единственная разница заключается в том, что первый игрок выбирает х_i так, чтобы максимизировать наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам, тогда как второй игрок выбирает y_j с целью минимизировать наибольший ожидаемый проигрыш по строкам. Математически критерий минимакса при смешанных стратегиях описывается следующим образом. Первый игрок выбирает стратегию, обеспечивающую

,

где переменные х и у удовлетворяют соотношениям (12.4) и (12.5), а второй игрок выбирает стратегию, обеспечивающую

.

Эти величины определяются соответственно как среднеожидаемые максиминные и среднеожидаемые минимаксные платежи.

Если х^*_i и у^*_j – оптимальные решения для обоих игроков, то каждому элементу платежной матрицы a_ij соответствует вероятность х^*_iу^*_j. Следовательно, оптимальное ожидаемое значение игры

.

Справедлива следующая основная теорема теории матричных игр с нулевой суммой (теорема фон Неймана).

Теорема 2. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение среди смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: .

Если чистая стратегия входит в смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях.

Теорема 3. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш останется неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение, она дает конкретный способ нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.