13.2. Графическое решение игр размерности m2

Пример 2. Найти решение игры вида (m2), заданной платежной матрицей:

.

Решение: .

Игра не имеет седловой точки.

Пусть у₁ и у₂ (причем у₂ = 1 – у₁) – смешанные стратегии второго игрока.

Ниже представлены ожидаемые проигрыши второго игрока, соответствующие чистым стратегиям первого игрока.

Чистые стратегии Ожидаемые проигрыши

первого игрока второго игрока

1

2

3

4

Эти четыре прямые изображены на рис. 13.3. Минимаксная точка определяется как самая нижняя точка на огибающей сверху. В рассматриваемом случае это точка пересечения прямых, соответствующих проигрышу второго игрока при использовании первым игроком первой и третьей стратегий, т.е. прямых:

– 2у₁ + 4 = у₁ + 2, у₁ = 2/3, у₂ = 1 – у₁ = 1/3.

Рисунок 13.3

Цена игры определяется как v = – 2у₁ + 4 = – 22/3 + 4 = 8/3 или v = у₁ + 2 = 2/3 + 2 = 8/3.

Оптимальная стратегия второго игрока , при этом цена игры v = 8/3.

Поскольку прямые, пересекающиеся в минимальной точке, соответствуют первой и третьей стратегиям первого игрока, то это означает, что х₂ = х₄ = 0. Следовательно, х₃ = 1 – х₁.

Чистые стратегии Ожидаемые выигрыши

второго игрока первого игрока

1

2

Значение х₁ определяется из уравнения:

– х₁ + 3 = 2х₁ + 2, х₁ = 1/3, х₂ = 1 – х₁ = 2/3, v = – х₁ + 3 = – 1/3 +3 = 8/3 или v = 2х₁ + 2 = 21/3 + 2 = 8/3.

Оптимальное решение первого игрока: . Цена игры v = 8/3.

Лекция 14. Решение матричных игр с помощью линейного программирования

План.

14.1. Связь матричных игр и линейного программирования.

14.2. Алгоритм решения матричных игр с помощью линейного программирования.

14.1. Связь матричных игр и линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования. Г Данциг указывает, что создатель теории игр Дж. Фон Нейман, который первым ввел симплекс-метод в линейное программирование (1947 г.), установил это соотношение и в дальнейшем обосновал и развил концепцию двойственности в линейном программировании.

Допустим, дана игра двух лиц, заданная платежной матрицей . Тогда оптимальная смешанная стратегия первого игрока определяется условиями

, . (14.1)

Эта задача может быть сформулирована в виде задачи линейного программирования. Пусть

.

Тогда может быть составлена математическая модель задачи для первого игрока. Исходя из чистых стратегий второго игрока целевая функция игры:

(14.2)

при ограничениях

.

Для второго игрока задача записывается в виде

, .

Промежуточное соотношение:

.

Тогда задача примет вид

(14.3)

при ограничениях

.

Задача для второго игрока (14.3) является двойственной к задаче для первого игрока (14.2). Задача для второго игрока может быть решена, например, стандартным симплекс-методом, а для первого игрока – двойственным симплекс-методом. Выбор метода определяется тем, какая из задач имеет меньше ограничений, что в свою очередь зависит от числа чистых стратегий каждого из игроков.

Математическую модель задачи (14.2) можно упростить, разделив все (n + 1) ограничения на v. Это возможно при v  0. При v = 0 рекомендуется прибавить любое положительное число ко всем элементам платежной матрицы, что гарантирует положительность значения модифицированной игры. Действительное значение игры получается вычитанием из модифицированного значения этого положительного числа. Если v < 0, то надо сменить знаки неравенств.

Полагая v > 0, систему ограничений можно записать:

.

Полагая X_i = x_i / v и если v  max, то 1/v  min, получим задачу линейного программирования вида

при ограничениях

.

Аналогично, исходя из чистых стратегий первого игрока или по правилам составления двойственных задач, принимая математическую модель первого игрока как исходную, математическая модель второго игрока записывается в виде

при ограничениях

,

где S(Y)_max = L(X)_min = 1/v, Y_j = y_j/n.