Лекция 16. Применение теории игр в экономике

План.

16.1. Кооперативные игры.

16.2. Позиционные игры.

16.1. Кооперативные игры

Игроки могут выигрывать и проигрывать одновременно, их интересы могут не быть полностью противоположными, а поведение игроков становится более разнообразным. Такая ситуация весьма характерна для рыночных отношений.

В игре с ненулевой суммой становится желательным координировать свои действия с партнером либо каким-то образом влиять на его действия . Игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными (в сообществе) и некооперативными (принятие решений независимо друг от друга).

В случае кооперативных игр важно определить точки равновесия игры. Понятие равновесия в теории игр шире понятия оптимизации включает последнее в качестве частного случая. В общем случае пара стратегий х^* и у^* для первого и второго игроков называется точкой равновесия по Нэшу, если обоим игрокам невыгодно отклоняться от своей стратегии в одиночку, т.е.

a₁ (x, у^*)  a₁ (х^*, у^*), a₁ (х^*, у)  a₁ (х^*, у^*) для любых х и у.

Пример. Определить точки равновесия для игры с матрицей выигрышей:

.

Решение. Нетрудно видеть, что в этой игре первому игроку невыгодно отклоняться от 1-й стратегии, если ее придерживается второй игрок, а второму игроку невыгодно отклоняться от 2-й стратегии, если ее придерживается первый игрок.

В теории игр доказано, что для любой конечной некооперативной игры с ненулевой суммой всегда существует по крайней мере одна равновесная пара смешанных стратегий; в общем случае равновесное решение может быть неединственным, причем каждому из них могут соответствовать разные значения выигрышей у игроков.

В случае кооперативной игры с двумя игроками предполагается, что игроки не могут воздействовать друг на друга до тех пор, пока не придут к некоторому соглашению.

В этом случае игра (вернее ее исходы) представляется, как множество S на плоскости общих выигрышей а₁ и а₂ (рис. 16.1). Задаются значения выигрышей Т₁ и Т₂, которые могут получить соответственно 1-й и 2-й игроки без кооперации с партнером. В предположении о том, что множество S является выпуклым, замкнутым и ограниченным сверху, можно доказать, что оптимальные решения находятся на правой верхней границе этого множества.

На этой границе выделяется множество Р парето-оптимальных решений, на котором увеличение выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнера. На множестве Р точками и ограничено переговорное множество N; оно характерно тем, что игрокам нет смысла вести переговоры относительно решений вне его, так как положение одного из игроков может быть либо улучшено без ущерба для партнера, либо он может достичь лучшего выигрыша в одиночку. На переговорном множестве выделяется точка N^*, соответствующая равновесию по Нэшу – точка Нэша; в ней достигается максимум произведения

max(a₁ – T₁)( a₂ – T₂),

в котором сомножители представляют собой превышения выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут быть получены игроками без кооперации.

Рис. 16.1.

Точка Нэша является одним из возможных решений кооперативной игры, наиболее привлекательных для партнеров.

Пример. Кооперативная игра дается матрицей выигрышей:

.

Определить основные характеристики игры.

Решение. На плоскости а₁0а₂ множеством S, определяющим игру, является треугольник с вершинами, данными в матрице: 0 (0, 0), А(2, 8), В(8, 2); это множество является выпуклым (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Сторона АВ треугольника представляет собой парето-оптимальное множество: увеличение выигрыша одного игрока возможно только за счет партнера. Точка Т(4, 4) определяет выигрыши, которые игроки могут получить без взаимодействия с партнером. Переговорное множество N (отрезок и ) лежит на линии АВ. На этой линии находится точка Нэша N^*(5, 5) – в ней произведение (a₁ – 5)( a₂ – 5) для точек max(a₁, a₂), лежащих вне множества N, принимает наибольшее значение.