11.3. Классификация игр

Рассмотрим классификацию игр в зависимости от различных параметров.

Количество игроков. Различаются игры двух лиц (два участника игры) и игры n лиц (число участников более двух).

Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Если число стратегий хотя бы одного из участников игры бесконечно, то игра называется бесконечной.

Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой – сумма выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы – антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой.

Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения можно рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные игры (коалиции определены заранее).

Тип функции выигрыша. По данному критерию выделяют матричные игры (игра 2-х лиц, выигрыш одного из игроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), биматричные игры (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей). Непрерывные игры (функция выигрышей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые игры (функция выигрышей есть выпуклая функция на множестве стратегий) и др.

Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одношаговой. В противном случае игра называется многошаговой (позиционной, например, шахматы).

Кроме этого выделяют различные классы игр по иным признакам (статистические, дифференциальные и многие другие). В частности рассматривают так называемые «игры с природой», т.е. игры, когда в качестве второго игрока выступает не игрок с противоположными интересами, а некоторая сторона с «неопределенными» интересами (природа). В этом случае для поиска оптимальных стратегий наряду с принципом гарантированного результата используются и другие критерии, например Максимакса, Вальда, Сэдвиджа, Гурвица.

Лекция 12. Игры двух лиц с нулевой суммой

План.

12.1. Основные предположения для игр двух лиц с нулевой суммой.

12.2. Смешанные стратегии.

12.3. Аналитическое решение игры 22.

12.4. Доминирование стратегий.

12.1. Основные предположения для игр двух лиц с нулевой суммой

Игра для двух лиц с нулевой суммой задается следующими условиями:

- имеются два игрока, стратегии одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок);

- каждый игрок выбирает одну из своих стратегий независимо от другого: первый одну из m стратегий, второй одну из n стратегий;

- если первый игрок выбирает стратегию i, а второй стратегию j, то первый игрок получает выигрыш a_ij, который интерпретируется как платеж от второго игрока.

Такая игра называется игрой двух лиц с нулевой суммой и представляется в виде матрицы игры (табл. 12.1), которая содержит выигрыши первого игрока (или проигрыши второго игрока).

Таблица 12.1

	Стратегия 1 игрока 2	Стратегия 2 игрока 2		Стратегия n игрока 2
Стратегия 1 игрока 1	a11	a12		a1n
Стратегия 2 игрока 1	a21	a22		a2n
				
Стратегия m игрока 1	am1	am2		amn

В табл. 12.2 приведена конкретная матрица игры, согласно которой, например, выигрыш первого игрока составит 2 единицы, если первый игрок выберет свою вторую стратегию, а второй игрок свою первую стратегию.

Таблица 12.2

	Стратегия 1 игрока 2	Стратегия 2 игрока 2	Стратегия 3 игрока 2	Стратегия 4 игрока 2
Стратегия 1 игрока 1	1	2	3	-1
Стратегия 2 игрока 1	2	1	-2	0

В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю. Поскольку плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок, то какая-либо кооперация между ними не возможна.

Верхнее и нижнее значение игры, условие седловой точки.

Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию своего противника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения конкретную игру (табл. 12.3).

Таблица 12.3

	Стратегия 1	Стратегия 2	Стратегия 3	Минимум по строкам
Стратегия 1	4	4	10	4
Стратегия 2	2	3	1	1
Стратегия 3	6	5	7	5
Максимум по столбцам	6	5	10

Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или ворую стратегию, поскольку в этом случае его потери будут минимальными - 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Если первый игрок выбирает вторую стратегию, то второй выбирает третью стратегию, проигрывая при этом 1 единицу. Если первый игрок выбирает третью стратегию, то второй выбирает стратегию 2 с проигрышем 5 единиц. В последнем столбце таблицы записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений.

Таким образом, первый игрок может гарантированно выиграть по крайней мере 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая третью стратегию, второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.

Рассмотренная матрица удовлетворяет условию седловой точки:

max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам). (12.1)

Говорят, что если выполнено условие (12.1), то игра имеет седловую точку. В строго математическом виде это можно переписать как

. (12.2)

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Для любой конечной игры выполнено соотношение

. (12.3)

Доказательство. Очевидно, что

,

Откуда получаем

.

Так как в этом неравенстве слева стоит конкретное число, а справа – выражение, зависящее от j, то справедливо следующее неравенство

,

что и требовалось доказать.

Величина называется нижней ценой игры, или максимальным гарантированным выигрышем первого игрока (максимином). Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Величина называется верхней ценой игры, или минимальным гарантированным проигрышем второго игрока (минимаксом). Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Как было доказано, нижнее значение любой матричной игры не превосходит верхнего значения.

Если   , то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий – седловой точкой матрицы. В этом случае элемент a_ij = v называется ценой игры. Он одновременно является минимальным в i-й строке и j-й столбце.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.