§7. Векторлық өріс роторы

Айталық, (V) облысында

A(M )  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k

векторлық өрісі берілсін делік. Мұндағы P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

функциялары бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар.

Анықтама. A(M ) векторлық өрісінің M (x, y, z) нүктесіндегі роторы (құйыны) деп төмендегідей формуламен анықталатын:



R



Q 

 P



R 



Q



P 

(24)

rot A( M )  

 i  

 j  

k



y

z 



z

x 



x

y 

жаңа векторлық өрісті айтады.

(24) – формуланы көбінесе мынадай түрде жазады:

i j k

rot		( M ) 						,	(24')
	A
			x		y		z
			P		Q		R

өйткені бұл анықтауыштың бірінші жолының элементтері бойынша жіктелуі (24) – теңдікті береді.

Векторлық өріс роторының символикалық пішіні  және A операторларының векторлық көбейтіндісі түрінде де жазылуы мүмкін:

rot

 

,

 .

(25)

A



A





Ротор төмендегідей қасиеттерге ие болады:

1.

rotC  0 ;



, c  0 ,







мұндағы c  Const .

2.

rot с1

 с2

  с1rot

 с2 rot

;

A1

A2

A1

A2













 ,  с1 A1  с2 A2   c1 , A1 

 c2 , A2

 ,

мұндағы c1 , c2 – тұрақты шамалар.

3.

rot u



 grad u ,



 u rot

;

(26)

A

A

A







, u

 



u , A

 u 

,



,



A





A













29

мұндағы u  скалярлық өріс.

Соңында, M (x, y, z) нүктесінің радиус-векторының, ал жалпы алғанда

сфералық симметриялы өрістің роторының нөлге тең болатындығы туралы айтуға болады, яғни

rotr

 0 ;

(27)

rot ( r ) 

 0

.

(27')

r

1-мысал.

 y 2 i  x 2

 z 2

– векторлық өрісінің роторын табыңдар.

A

j

k

Шешуі. (24') – формуласы бойынша

i

j

k

rot









 2( x  y )

.

A

k

x

y

z

y 2

 x 2

z2

2-мысал. Дәлелдеңдер:

rot A  _ , A_ .

Шешуі. , A векторлық көбейтіндісін есептейік:

• ^_ i ,





,







 i ,

 





,









,

 



A

A

j

A

k

A





x 



y 



z 







 i , Pi  Q









, Pi  Q









, Pi  Q



j

 Rk

j

j

 Rk

k

j

 Rk



x 



y 



z 



 P

Q

R

 





P

Q

R

 



 P

Q

R



i 

j



k



i 

j 

k

i 

j 





x

x

x

 

 j , 

y

y

y

 

  k ,



z

k 



 





 



 z

z 



P  i , i 

 Q  i ,





R  i ,





P 

, i

  Q 

,

 

R 

,





j

k

j

j

j

j

k

x  

x 



x 



y 



y 



y 



 P 

, i   Q 

,



 R 

,

 .

k

k

j

k

k

z 



z 



z 



Мына теңдіктерді:

 i , i 					 0;
				
				, i 	  k ;
	j
				
			, i 				;
	k					j
				

_ i ,

_ j , _ k ,

j _  j _  j _ 

	 i ,							  		;
k ;					k				j
								
						, k   i;
0;			j
								
i ;		k , k   0.

30

ескеріп,



,



 Q

 R

 P

 R i  P

 Q i 



A

k

j

k

j





x

x

y

y

z

z



R



Q





P



R 



Q



P



 

y

z

 i  

z

 j  

x

y

k  rot A.







x 





3-мысал.

rot u

  grad u ,



 u rot

формуласын дәлелдеңдер.

A

A

A





Шешуі.

rot





,

 



 i ,









,









,



формуласын

A



A

A

j

A

k

A





x 



y 



z 



пайдаланып,







rot u





, u

 

i , u







, u







, u





A



A

A

j

A

k

A





x 



y 



z 



  i ,



u 

 

 

,



u 

   

,



u 





A

j

A

k

A

x

y

z

















u



  



u



 



 u





A

A

A



 A  u

 A  u



 A  u

 i , 

x

x

 



 j , 

y

y

 

 k ,



z

z

 





 



 







  

  





u

 

A





u











u









A



A



  i ,

x

 A 

  i , u

x



  j ,

y

 A 

  j , u

y



 k ,

z

 A 

  k , u





 

















z 

 

u

u

u





























 

i 

j 

k 

, A   u 



j , A



k , A

 

i , A

y 

z 

 

x

y

z







x















,



 u  rot

.

grad u

A

A





4-мысал.

 sin x  2 y  3z x 2 i  y 2

 z 2



–

векторлық

өрісінің

A

j

k

M (3;3;1) нүктесіндегі роторын табыңдар.

Шешуі. (26) – формуланы пайдаланайық. Сонда

rot

 sin x  2 y  3z  rot x 2 i  y 2

 z 2



A

j

k



 2 y  3 z , x

2

i  y

2

 z

2



j

k

  grad sin x

 .

i

j

k







rot x 2 i  y 2

j  z 2 k  

 0 .

x

y

z

x 2

y 2

z2

31

grad sin x  2 y  3 z   cos x  2 y  3 z i  2 j  3k .

Сөйтіп,



2

2

2



rot A 

i  y

j  z



 grad sin x  2 y  3 z , x

k 

i

j

k



1

2

3

 cos x  2 y  3z  .

x 2

y 2

z2

Ал



i

j

k

 cos 0  25i  26

 9

1

3

.

rot A

2

j

k

M (3; 3;1)

9

9

1

rot (r)

 0

5-мысал. (27′)

– формуласын, яғни

болатындығын

r

дәлелдеңдер.

Шешуі. A  (r)r өрісінің роторын табу үшін (26) – формуланы пайдаланайық. Сонда

rot A  _ grad   r , r _   r  rot r .

Мұндағы

i

j

k

rot









 0 ,

r

x

y

z

x

y

z

ал

grad  r   ^_r^{( r )}  r

(§2, (8') – формуланы қара) екендігін ескерсек, онда

  ( r )



( r )

rot A 

 r , r



  r , r 

 0.





r

 

 r



32