§5. Векторлық өріс дивергенциясы

Айталық, А(М )  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k (V) аймағында

анықталған векторлық өріс болсын. Мұндағы P, Q, R – функцияларын (V) аймағында дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар болсын деп ұйғарамыз.

16

А(М ) векторлық өрісінің дивергенциясы (жинақсыздығы)

div		( M ) 	P		Q		R	(16)
	A
			x		y		z

өрнегімен анықталады, яғни дивергенция (V) аймағында скалярлық өрісті кескіндейді.

А(М ) векторлық өрісінің дивергенциясы символикалық түрде

Гамильтон операторы мен А(М ) векторының

скалярлық көбейтіндісі

түрінде жазылуы мүмкін:

div

 

,

 



i ,

 





,

 





,

.

(17)

A



A

A

j

A

k

A

x

y

z

Дивергенцияның негізгі қасиеттері:

1.

divc  0 , 

, c  0 , c  Const  .



2.

div  c1

 c2

  c1div

 c2 div

,

A1

A2

A1

A2



, c1

 c2

  c1 

,

 c2 

,

,



A1

A2



A1



A2

мұндағы c1 , c2 – тұрақты шамалар.

3. div  u

  

,

 udiv

,

(18)

A

A

grad u

A



, u

  

,

u  u 

,

, (u – скалярлық өріс).



A

A





A

Енді өте маңызды төмендегі екі теңдікке тоқталайық:

а) Радиус-вектордың дивергенциясы: div

 3.

r

(19)

б) Сфералық симметриялы өрістің дивергенциясы:



(20)

div  r  r   ( r )  r  3 r .

1-мысал. (19) – формуланы, яғни

divr

 3

болатындығын

дәлелдеңдер.

Шешуі. Айталық, r  xi  y j  zk болсын. (16) – формула бойынша:

divr  ^_^x_x  ^_^y_y  ^_^z_z  3.

2-мысал. A  xyi  yz j  zxk векторлық өрісінің М(1;2;3) нүктесіндегі дивергенциясын табыңдар.

Шешуі. A векторының координаталарының дербес туындыларын табалық:

17

^_^P_x  y , ^_^Q_y  z , ^_^R_z  x .

Бұдан div A  x  y  z .

М(1;2;3) нүктесіндегі дивергенцияның мәні div A(M )  6.

3-мысал. divu A A, grad u u div A формуласын, яғни (18) теңдікті

дәлелдеңдер. Мұндағы u – скалярлық өріс.

Шешуі. Дивергенцияның анықтамасы бойынша:

div  u A   _^_x u  P   _^_y u  Q   _^_z u  R 

• P  ^_^u_x  u ^_^P_x  Q ^_^u_y  u ^_^Q_y  R ^_^u_z  u ^_^R_z 

• ^_ P  ^_^u_x  Q ^_^u_y  R ^_^u_z ^_  u ^_ ^_^P_x  ^_^Q_y  ^_^R_z ^_     

  A, grad u  u  div A.

Енді есептің (17) – формулаға негізделген басқа шешімін берейік:

div  u

  

, u

 



i , u









, u

 





, u

 

A



A

A

j

A

k

A

x

y

z



u











u









A

A



  i ,

A 

  i , u



  j ,

y

A 

  j , u





x 



x 







y 



u



























A

  k ,

A 

  k , u





 A,

iu 

  A,

ju 

  A,

ku 



z

y

z



z 







x





















 u 

i , A  

 j , A  

k , A     A, u  u , A.

x

y

z





 r 2 

 векторлық өрісінің дивергенциясын табыңдар,

4-мысал.

A

c

мұндағы

 тұрақты вектор.

c

B,C, D  Const  болсын делік.

Шешуі. Айталық,

c

 Bi

 C j  Dk

Сонда

A   x ²  y ²  z ² Bi  C j  Dk .

18

Сөйтіп, A векторының координаталары:

P ( x, y , z )   x ²  y ²  z ² B ,

Q ( x, y , z )   x ²  y ²  z ² C ,

R ( x, y , z )   x ²  y ²  z ² D .

Бұл функциялардың дербес туындылары:

P	 2xB ,	Q	 2 yC ,	R	 2zD .
x		y		z

Сонымен, div A  2 xB  2 yC  2 zD  2r c .

Бұл есепті (18) – формуланы пайдаланып та шығаруға болады:

div

 div r 2 

 

grad r 2  r 2 div

A

c

c

c

 тұрақты вектор болып табылатындықтан, div

 0 , ал

grad r 2  2r

c

c

болады. Бұл мәндерді дивергенция өрнегіне қойсақ, онда div

 2



.

A

r

c

5-мысал. (20) – формуланы, яғни

div  ( r )

  ( r )

 3( r )

r

r

теңдігін дәлелдеңдер.

Шешуі. (18) – формуланы пайдаланып,

 (r)

A

r

векторының

дивергенциясын есептейік: div (r)

 (

, grad (r))  (r) div

,

r

r

r

ал (19) –

 3

grad (r) 

(r)

формулабойыншаdiv

r

екендігінжәне

r

(r)

r

болатындығын ескерсек, онда

div (r)

 3(r)

теңдігі

шығады.

r

r

Дәлелдеу керегі осы еді.