§10. Гамильтон операторы.

Бірінші ретті дифференциалдық операциялар

Біз осы уақытқа дейін

тек grad u ,

– операцияларын

div A, rot A

Гамильтон (набла) операторы арқылы кескіндеумен шектелдік:





grad u  u ,

div A   , A  ,

rot A  , A.

Енді   есептеуін жалпы түрде қарастырайық.

Айталық,

 

, M   

, x, y , z  –

векторына

сызықты тәуелді







скалярлық немесе векторлық өріс болсын делік, яғни

 1 1   2  2   1  1   2 2 ,

мұндағы 1 , 2

– кез келген нақты сандар, M  M ( x, y , z) .

  i  

 

Айталық,

P

j

k

– бұл

P

векторының

i, j, k базистері

бойынша жіктелуі болсын.

16. векторы сызықты болғандықтан,

•       i   j   k     i     j     k 

•   i      j  k .

45

-ның әрбір өрнегіне, оның жіктелуіндегі  ,  ,  коэффииенттерін

_^_x , _^_y , _^_z дифференциалдау операторларымен алмастырғаннан шығатын

     _^_x   i  _^_y   j  _^_z k 

өрнегін сәйкес қоямыз.

Сонымен, анықтама бойынша

 

 



  i 



 







.

(38)



j

k

x

y

z





grad u , div A , rot A өрнектері 

өрнегінің      u , , A,



, A

өрнектеріне сәйкес келетін дербес жағдайлары болып табылады.







өрнегін төмендегідей түрде көрсету фундаментальды рөл

атқарады:





(V )M

1











 lim



n

dS,

(39)

V

( S )

мұндағы n – S  бетіне жүргізілген сыртқы нормальдің бірлік векторы,

М – кез келген нүкте. Бұл (39) – формуладан -нің координаталар өстерін таңдауға қатысты инварианттығы шығады.

Енді  дифференциалдық операторына қолданылатын амалдардың ережелеріне тоқталайық:

1.  өрнектерімен кез келген тепе-теңдік түрлендірулерін жасауға болады.

Мысалы, градиенттің, дивергенцияның және ротордың сызықтық қасиеттерін өрнектейтін төмендегідей теңдіктер орындалады:

(u  v )  u  v;

, a  b    , a    , b;

_, a  b _  _ , a _  _ , b_.

2. Егер  операторын екі шаманың көбейтіндісіне қолдансақ, онда нәтижесінде екі қосылғыштың қосындысы шығады, оның әрқайсысында көбейткіштердің біреуі  әсер ететін нүктеде уақытша тұрақты болады.

46

Ілгеріде уақытша тұрақты деп есептелінетін барлық шамаларды «с» индексімен белгілейміз:

(uv )    u  v_c    u_c v;

  u , a     u  a_c  u_c , a;

_, ua _  _, ua_c _  _, u_c a_; , _ a, b _    , _ a, b_c _    , _ a_c , b_; _ , _ a , b _ _  _ , _ a , b_c _ _  _, _ a_c , b__;

  a, b     a, b_c  a_c , b.

Ескерту.  өрнегінде  символының алдында тұрған аргументтер белгіленген деп есептелінеді. Айталық, (u  v)  u  v_c  u_c  v жазылуының орнына, мынадай теңдікті

(uv )  v_c u  u_c v  vu  u v

алуға болады. Мұнда «с» индексі түсіп қалған.

Енді мынадай өрнекті: A,B  A_c ,B толығырақ қарастырайық. Мұнда A_c  уақытша тұрақты шама.

Айталық, A  P ( x, y , z )i  Q( x, y , z ) j  R ( x, y , z ) k болсын. Сонда

A,   B  _^_x A_c , i B  _^_y A_c , j B  _^_z A_c , k B 

 _^_x P_c , B   _^_y Q_c , B   _^_z R_c , B 













 

 P

B  Q

B  R

B   P

 Q

 R

 B;

x

y

z

x

y



z 







Сөйтіп, A,    P

 Q

 R

.

(40)

x

y

z

Бұл операторды скалярлық өріске де, векторлық өріске де қолдануға болады.

47

Алдымен A, операторын u  u(M ) скалярлық өрісіне қолданайық:





u

A













A, 

u



A



A

, 



u 

A

 , grad u



A



,

u







A

,

–

u(M )

өрісінің

A векторының бағыты бойынша

мұндағы 



A

алынған туындысы.

Енді бұл

операторды

векторлық өріске қолданайық. Егер

 P(x, y, z)

 Q(x, y, z)

 R(x, y, z)

векторы

Декарт

координаталар

B

i

j

k

жүйесінде берілсе, онда оның

A векторының бағыты бойынша алынған

туындысының төмендегідей формула арқылы есептелуі мүмкін:

^_^B  ^_^P i  ^_^Q j  ^_^R k   ,   Pi   ,   Q j   ,   Rk 











A





1

,

.

(41)

 

, 

Pi  Q j  Rk

  , 

B 

A



B

Дербес жағдайда, егер



B

r

 xi

 y j  zk болса, онда



,

 



.

(42)

A



r

A

1-мысал. Төмендегі формуланы дәлелдеңдер:



, 

,

   

, 

,

   

, 

,

,



a

b



a

b



a

b





  



c   

 c



мұндағы a_c , b_c  уақытша тұрақты шамалар. Шешуі. (38) – формула бойынша

     _^_x   i  _^_y   j  _^_z k .

Сонда _ , _ a , b _ _  _^_x _ i , _ a , b _ _  _^_y _ j , _ a , b _ _  _^_z _ k , _ a , b__ .

Өрістер көбейтіндісін дифференциалдау формуласын

_^_x _ a , b _  ^_ ^_x^a , b ^_  ^_ a , ^_^b_x ^_    

48













b

c  const 

және

  c ,



x

 c , b 

x





теңдіктерін пайдаланайық.

Сонда







































,

  i ,



  j ,



  k ,

 



 a , b 



x

 a , b 

y

 a , b 

z

 a , b















 









 

 









 















a



b

a



b

a



b



, b

a ,

, b

a ,

, b

a ,

  i ,

 x





x





  j ,



y





y 



  k ,



z





z







 

 







 



 



 



 



 







 



 







 

 



 

















 









a

a

a

b

b

b

, b

, b

, b

a ,

a,

a ,

  i ,

 x



   j ,



y





  k ,



z





  i ,



x







 j ,



y





  k ,



z







 

 

 

 

 









 





 





 





 





 



























i ,

 a , b





j ,

 a , b





k ,

 a , b

















x



c



y



c 

z



c 

































i ,

 a , b 



j ,

 a , b





k ,

 a ,b















x



c



y



c



z



c















• _^_x ^_ ^{i , } ^{a , b}c ^ ^_ ^ _^_y ^_ ^{j , } ^{a , b}c ^ ^_ ^ _^_z ^_ ^{k , } ^{a , b}c ^^_ ^

• _^_x _ i , _ a_c , b _ _  _^_y _ j , _ a_c , b _ _  _^_z _ k , _ a_c , b _ _  _ , _ a , b_c _ _  _ , _ a_c , b__.

Дәлелдеу керегі осы еді.

2-мысал. Есептеңдер: div r, A, ( A  const , r  айнымалы нүктенің радиус-векторы).

Шешуі. І тәсіл. Бұл жерде тікелей  – әдісін қолданамыз. Нәтижесінде:

div _ r , A_   , _ r , A_    , _ r , A_c _    , _ r_c , A_

  r A  0  A r   A, _, r _  A, rot r   0,

себебі _ r_c , A_ тұрақты шама болғандықтан, , _ r_c , A_ 0 және (27) –

формула бойынша rot r  0.

49

ІІ тәсіл.

diva

,

 

, rot

 

, rot



–

формуласын

қолданайық.

b

b

a

a

b

Сонда





div

  A, rot r   r , rot A  0,

 r , A

себебі rot

r

 0 , rot

A

 0 (

A

– тұрақты вектор).

3-мысал.

 e x  2 y 3z 3 xi  2 y



–

векторлық

өрісінің

M 0 (3,3,1)

B

j

 zk

нүктесіндегі осы нүктеден

M (4,5,3)

нүктесіне қарай бағытталған вектор

бойынша алынған туындысын табыңдар.



 



Шешуі. (41) – формула бойынша:

B

,



B

.



(4  3)i   5  ( 3) 

 (3 1)

i  2

 2

M

0 M

j

k

j

k

 





.

M 0 M

(4  3) 2   5  ( 3) 2  (3 1)2

3

Демек,









 











B

1

1

 ,   B 





 2

 2

 B





 2



2

e x  2 y 3z  3xi 



3

x

y

3

y

z



z 



x



1







 

1















 2

 2

 e x  2 y  3 z 

2 y j 



 2

 2

e x  2 y 3z  zk 

3



x

y

z 

3

 x

y

z 

 e x  2 y  3 z x  1  4 x  6 x  i 

2

e x  2 y 3z  y  4 y  2  6 y 



j

3

1

x  2 y  3 z

x  2 y 3z 

2

1



z  4 z  6 z  2  k



e

 e

 (3 x  1)i 

(3 y  2) j 

(3 z  2) k .

3



3

3



Туындының M 0 (3,3,1) нүктесіндегі мәні:

B

3 6 3



2

1



22

5



 e

 (9  1)i



( 9  2) j 

(3



2) k 



10i 

j 

k.

M0 (3, 3,1)



3

3



3

3

4-мысал. Есептеңдер:

 





rot

A  Const .

  A, r



, r ,

Ш ешуі. Қос векторлық көбейтіндіні ашалық:

50

rot _ _ A, r _, r _  rot A, r r  r ² A  rot A, r r  rot r ² A.