§15. Мембрананың тербеліс теңдеуі

Мембрана деп қатты керілген, жұқа, біртекті, серіппелі пластинканы айтады. Біз мембрананың тек аз, көлденең тербелістерін ғана қарастырамыз.

90

u ( x, y , t ) арқылы мембрананың кез келген нүктесінің, кез келген t уақытта аппликатасын беретін функцияны белгілейміз. Бұл функция мембрананың тербеліс заңы деп аталады.

Мембрананың тербеліс заңы төмендегі теңдеуді қанағаттандырады:

u_tt ( x, y , t )  a ² u _xx ( x, y , t )  u _yy ( x, y , t )   A( x, y , t ). (44)

Мұндағы a²  _^ (Г – мембрананың беттік тығыздығы, Т – керілу

күшінің тығыздығы); A(x, y, t) – сыртқы күштің тығыздығы.

Егер сыртқы күш әсер етпесе немесе оны ескермеуге болатындай өте аз шама болса, онда (44) – теңдеуді былайша жазуға болады:

utt ( x, y , t )  a 2 u xx ( x, y , t )  u yy ( x, y , t )  .

(45)

Бұл (45) – теңдеу мембрананың еркін тербеліс теңдеуі деп аталады. Тербеліс заңына қойылатын бастапқы және шекаралық шарттардың

төмендегідей түрде берілуі мүмкін. а) Бастапқы шарттар:

u ( x, y , 0)  f ( x, y), ut ( x, y , 0)  F ( x, y).

(46)

Мұндағы f ( x, y) – мембрананың бастапқы ауытқуы,

F ( x, y) – мембрана нүктелерінің бастапқы жылдамдық-тары болып табылады.

Егер мембрана С контурының бойымен бекітілген болса, онда кез келген t уақытта С контурында жататын (x, y) нүктелері үшін шекаралық

шарт мынадай теңдік түрінде жазылады:

u ( x, y , t )		c  0.	(47)

Мұндағы С контуры – мембрананың тепе-теңдік жағдайындағы орны болып табылатын OXY жазықтығының  аймағын шектеуші сызық.

ә) Егер ақырсыз мембрана бүкіл OXY жазықтығымен беттесетін болса, онда қозғалыс заңына шекаралық шарттар қойылмайды, бұл жағдайда бастапқы шарттардың берілуі жеткілікті.

б) Мембрананың С контурының бойымен бекітілген, әрі тыныштықта болатын жағдайларына тоқтала кетейік. Бұл жағдайларда мембрананың әрбір нүктесінің аппликатасы тек х пен y-ке ғана тәуелді болады:

u  u(x, y).

Егер С контуры толығымен OXY жазықтығында орналасса, онда

u(x, y)  0.

91

Егер С контуры OXY жазықтығында жатпаса, ал оның OXY жазықтығындағы проекциясы  қисығы (13-суретті қара) болатындай кеңістіктің белгілі бір тұйық сызығы болатын болса, онда u(x, y)

функциясын табу үшін, мына шекаралық есепті:

u _xx ( x, y )  u _yy ( x, y)  0, u ( x, y ) _  f ( x, y)

шешу қажет.

Мұндағы f (x, y) – С контурының нүктелерінің OXY жазықтығынан ауытқуын білдіреді.

13-сурет

Егер С контуры: 0  x  , 0  y  m тіктөртбұрышы болатын болса, онда (45) – (47) шекаралық есепті Фурье әдісімен шешуге болады, оның шешімі мынадай түрде жазылады:

 	 1 , 2		sin 1 ,2 t sin	1 x		 2 y
u ( x, y , t )  		cos 1 , 2 t  1 , 2			sin		,	(48)
						m
 2 1 1 1

мұндағы

4

m

 2

1

 1 ,2



 f ( , ) sin

sin

d d ,

(49)

m

m

0 0

1

4

m



2

1

 1 ,2





F (

, ) sin

sin

d d ,

(50)



m

m

1 ,2

0 0

 

12



22

a.

1 ,2

2

m2

(48) – қатардың әрбір қосылғышы мембрананың өзіндік тербелісін, яғни тұрғын толқынды кескіндейді.

92

Егер мембрана еріксіз тербелетін болса, онда u(x, y, t) ығысуы (44) –

теңдеуді қанағаттандыратын болады. Бұл теңдеудің тіктөртбұрышты мембрана үшін шешімі Фурье әдісімен табылуы мүмкін.

Егер бізге дөңгелек мембрананың тербелісі туралы есепті шешу қажет болса, яғни, егер С контуры радиусы R-ге тең дөңгелек болса, онда полюсы мембрананың центрінде жататын полярлық координаталарға көшкен ыңғайлы болады. (45) – теңдеу бұл координаталар арқылы былайша:

 2 u

 a

2



1



 

u 



1



2u





 r





,

t

2

r

2



2

 r

r 

r 



ал қосымша шарттар мынадай түрде жазылады:

u		t  0  f ( r ,  ),	u	 F ( r , ), u		r R  0.
			t	t 0

(51)

(52)

Тербеліс еріксіз болған жағдайда (51) – теңдеу мынадай теңдеумен алмастырылады:

 2 u

 a

2



1



 

u 



1



2u



 A( r , , t ).

(53)



 r





t

2

r

2



2

 r

r 

r 



Дөңгелек мембрана туралы есепті де Фурье әдісімен шешуге болады. Шешімі өзіндік тербелістердің (тұрғын толқындардың) суперпозициясы түрінде кескінделеді:

						
			u ( x , t )  u ,n ( x , t ),						(54)
					  0 n0
мұндағы
		  at		  at 				
u , n	( x, t )   A , n cos	n	 B , n sin	n	  C , n cos   D , n sin  J  		n	r 	, (55)
		R		R			R
								

J _ ( x) – бірінші текті Бессель функциясы, ал _n^ ( n 1, 2,...) – J _ ( x)  0 (к = 1,

2, ...) теңдеуінің түбірлері.

Енді тербелістің өстік симметриялы, яғни f және F бастапқы шарттарының  -ге тәуелді болмайтын жағдайына тоқталайық. Бұл жағдайда, мүмкін тек   0 болғанда ғана, тұрғын толқындар (55)  -ге тәуелді болмайды да, есептің шешімі мынадай түрде жазылады:

		 n cos	 (0) at	 n sin	 (0) at 		 J 0		 (0)		(56)
u ( r , t )  			n		n				n	r .
n1			R		R				R	

93

Мұндағы

2

R



 (0) r



n



0

f ( r ) rJ 0



n

dr,

R 2 J02 n(0) 

R





n 

2

R



 (0)r



F ( r ) rJ 0



n

dr.

R n(0) J02

n(0)



R

0





Бірінші текті Бессель функциясын мынадай қатар түрінде жазуға болады:



J _ ( x)  ( 1)^m 

m0

	x 2m
		
	2 
			.	(57)
m !( m  )!

Дербес жағдайда:



J ₀ ( x)  ( 1) ^m

m0

		x 2m
			
		2 		.
	( m!)2

J (x) функциясы төмендегі		Бессель				теңдеуінің	шешімі болып
табылады:
	1			 2 
y  		y    1			2	 y  0.	(58)
	x			x
						

Нейман функциясы N_ (x) (58) дифференциалдық теңдеуінің сызықты тәуелсіз екінші шешімі болып табылады. Бұл функцияның J_ (x)

функциясынан айырмашылығы оның x  0 нүктесінің маңайында шектелмеген функция болып табылатындығында. Енді Бессель функциясының кейбір қаситтеріне тоқталайық:

1. ^dJ 0 ^{( x)} _{ J 1 ( x).} dx

2. J ₂ ( x )  ²_x J ₁ ( x )  J ₀ ( x) жалпы алғанда

J _{ 1} ( x )  J _{ 1} ( x )  ²_xⁿ J _ ( x) ; J _{ 1} ( x )  J _{ 1}( x )  2 J _ ( x) , (к = 1, 2, ...).

94

						 			
3.	J ( x ) 	2			 			1
			cos  x 				 0 		.

• x  2 4   ³ 

  • x ² 

3.  ²   ² _^R xJ _ (  x ) J _ (  x ) dx  R   J _ (  R ) J _ (  R )   J _ (  R ) J _ (R)  .^

0

1

5. _ xJ _  _n^ x   J _ _m^ x  dx  0 ( m  n ).

0

6. 1 xJ 2  n x  dx 	1	J2 n .
	2
0

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Квадрат мембрана үшін қойылған шеттік есепті шешіңдер:

u_tt ( x, y , t )  a ² u _xx ( x, y , t )  u _yy ( x, y , t )

теңдеуінің D(0  x  , 0  y  ) аймағындағы бастапқы шарттарды: u ( x, y , t ) _{t 0}  0, u_t ( x, y , t ) _{t 0} ₀

және шекаралық шартты

u ( x, y , t ) _c  0

қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Мұндағы с – квадрат мембрананың контуры.

Шешуі. Есептің шешімін табу үшін (48) – формуланы қолданайық:





 1 2 cos 1 2

t   1 2 sin 12 t sin

1 x

sin  2 y

u ( x, y , t )   

,

 2 1

1 1

m

мұндағы  

2

 0 , ал  

2

-ны төмендегі формула бойынша есептейміз:

1

1

1

4

m



2

1

40

 2

1

 0 sin

sin

 12





m sin

d d  

sin

d d  



m



2

1 2

0 0

12

0 0



4 0

 sin 1 d   sin  2 d  

40

cos  2

  sin  1 d 

1 2

2

12

2

 2

0

0

0

0

95

 

4 0

cos   1 sin 1 d 

40

cos 1  1cos  2  1 

2

 2 1 2

0

 12 1

2



160

.

1  0,1, 2,...; 2

 0,1, 2,... .

 3 a 21  12 2  1

2 1  1 2   22 12

Бұл табылған  

мәндерін ізделінді шешімге қоямыз. Сонда

1

2







21

 1

2

  22  1

2

160

 

sin 

 at 

21  1  x

2 2

1 y

u ( x , y , t ) 

 





sin

sin

.

3

21

 12 2  1 21 

1

2

  22

1

2

 a

 2  0 1 0

2-мысал. Радиусы -ге тең дөңгелек мембрана үшін қойылған шеттік есепті шешіңдер:

utt ( r , , t )  a

2



1 



u 



1 2u





 r





r

2



2

 r

r 

r 



біртекті теңдеуінің

u ( r , , t )



J0



(0) r 

,

ut ( r , , t )

t 0  0,

t 0



1



100





u ( r , , t )

c  0

(c  мембрана контуры)

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Мұндағы ₁⁽⁰⁾  J₀

Бессель функциясының бірінші оң түбірі.

Шешуі. Біз бұл жерде тербелістің өстік симметриялы жағдайын қарастырамыз. Есептің шешімін мынадай түрде іздейміз:



u ( r , t )  

n1



 ^



	 (0) at	 n sin	 (0) at 			
n cos	n		n	 J	0	
						

⁽⁰⁾ r  ⁿ _.



Мұндағы

n



2

0



(0) r



f ( r ) rJ 0



n

dr,

2 J02

n(0) 





n



2



(0) r



F ( r ) rJ 0



n

dr.

 n(0) J02

n(0)



0





Біздің жағдайымызда _n  0 , ал

96

2



(0)r 



(0) r



n



J

0



1

rJ

0 

n

dr 

2 J02



n(0)  0 100









1



(0)r





(0)r



n  1



rJ 0



1

 J 0



n

dr  0

50 J02 n(0)

 0









( Бессель функциясының ортогональдық қасиеті бойынша).

1



 (0) r 



(0) r 

1

2

0 2

1(0)  

1



rJ 0



1

 J

0



1

dr 

J

.

50 J 0 2

1(0)

 0

50 J0 2 1(0) 

2

100









u ( r , t ) 

 (0) at



(0) r 

cos 1

J0



1

.

100



