§7 (24΄) Формуласы бойынша rot a есептейміз:

				i			j
rot						
	A
				x		y
				P		Q

k



z

R



R



Q 

 P



R 



Q



P 

 

y

 i  

z

 j  

x

 k.



z 



x 



y 

Дивергенцияның анықтамасы бойынша

 

R

Q 

  P

R 

 

Q

div rot A 











y









x

x 

z 

y  z

x 

z 



 2 R



 2 Q



 2 P



 2 R



 2 Q



2 P



yx

z x

z y

xy

xz

yz

• P  _ y ^_

0,

себебі

R	( x, y , z )  R	( x, y , z) , P	( x, y , z )  P ( x, y , z) , Q		( x, y , z )  Q	( x, y , z).
xy	yx	yz	zy	xz	zx

2-мысал. Есептеңдер: (r)  r.

Шешуі. (45) – формуладан:  A  grad div A  rot rot A теңдігі шығады. Біздің жағдайымызда:





r

div A   , A    ,  ( r )  r    r ,     ( r ) , r    r ,  ( r )



 3( r ) 

r





 ^{ }_r^{( r )} r , r  3 ( r )  ^_r^{( r )} r ²  3 ( r )   ( r ) r  3( r ); grad div A    ( r ) r  3 ( r )    ( r ) r   ( r )  3( r ) r 

55



( r ) 

  ( r ) r  4 ( r ) 

r

  ( r )  4

 r;

r



r 

rot

 

, ( r )



 0.

A



r





_{Демек,  A }  ( r ) r  4( r ) _{ r.} r

3-мысал. Төмендегі скалярлық өрістердің қайсысы гармониялық функциялар болады, соны анықтаңдар:

а) u  ¹_r , r  x ²  y ²  z² ;

ә) u  z ²  ( x  y)² ;

б) u  r  z  a cos (цилиндрлік координаталар, a  Const );

в) u  ² sin ²   sin 2 (сфералық координаталар).

Шешуі. а) І тәсіл. u(M ) скалярлық өрісін гармониялық деп атайды,

егер

_{u }  ² u _  ² u _ ²u _{ 0} x ² y ² z²

болатын болса.

Осы теңдікті тексеру керек.

 ² u x ²

u



  1



 

1 r

x





x

r

2

x  r



 

  x



 

1



3 x



r





x

3

r

3

r

4

x  r



 

1



2x

 

x

.

r 2

2 x 2  y 2  z2

r3

 

1



3 x



2 x

 

1



3x2

.

r 3

r 4

r 3

r5

2 x 2  y 2 z2

Осыған ұқсас:

 2 u	 	1		3 y 2	;	2 u	 	1		3z2	.
y 2		r 3		r 5		z 2		r 3		r5

Демек,



1 

1

3 x 2

1

3 y

2

1

3z2

u   



 













r

3

r

5

r

3

r

5

r

3

r

5

 r 

56

 

3

 3

x 2

 y 2

 z 2

 

3



3r 2

 

3



3

 0.

r 3

r 5

r 3

r 5

r 3

r3

Сонымен, u  ¹_r скалярлық өрісі гармониялық болып табылады.

ІІ тәсіл. u  div grad u өрнегін пайдаланайық.

 1



1

1

1

r

r

 − әдісін қолданайық: grad

 

 



r  



 

.

r 3

r

r

 r



r

2

r













1

r

1

1

1

 , r  



 div 



   

,

 r 

  

 

, r  

r

r

3

r

3

r

3

r

3





















2

   

3



r

,

 

1

 3 

3

,



3



3r



3

 0.

r

r

r

4

r

3

5

3

5

3



r



r

r

r

r

r

Ескерту.

Бұл

жерде

§5

(19)

–

формуланы

пайдаландық:



,

  divr

 3 .



r

ІІІ тәсіл. Бұл жерде сфералық координаталарға көшіп, Лапласианның осы жүйедегі формуласын пайдалану қажет.

Мұнда u(  ,  , )  _¹ функциясы  және  айнымалыларына тәуелді

емес. Демек,

u 

1 



 2

u 



1 



 2

 1





1 



2

1



 

1 

1  0,















2



2



2



2



2



 

 

 

  

 



яғни өріс гармониялық өріс болып табылады.

ә) u ( x, y , z )  z ²  ( x  y)² функциясы үшін есептейік:

u	 2( x	 y),	2u	 2;
x			x2
u	 2( x	 y),	2u	 2;
y			y2
u	 2 z ,		2u	 2.
z			z2

u ( x , y , z) 	 2 u		 2 u		2u
	x 2		y 2		z2

Демек, u  6 , яғни өріс гармониялық болып табылмайды.

57

б) u ( r ,  , z )  rz  a cos , ( a  Const ) үшін u(r,, z) – операторын төмендегі формула бойынша есептейік:

u ( r , , z ) 

1  

u 



1  2 u



2u

 r



2 .

r

r

2



2

z

r 

r 

Біздің жағдайымызда

u	 z ,	u	  a sin ,	u	 r.
r				z

Демек,

1 

1





z

a cos

u 

rz  

 a sin   

( r ) 



 0.

r

r

r 2



z

r

r 2

Сөйтіп, өріс гармониялық болып табылмайды.

в) Лапласианның сфералық координаталардағы формуласын қолданамыз:

1  

2

u 

1

 

u 

1

2u

u (  ,  ,  ) 









 sin 

 

.



2



2





2

sin

2

 

2

 

 

sin   



Біздің жағдайымызда:

u

 2  sin 2

  sin 2 ,





 2

u







2  3 sin 2   sin 2   6  2 sin 2   sin 2;

















u

2





u 





2

2

 cos   sin 2  

 2 

sin  cos   sin 2 ,

 sin 

  2

sin





 

 

 4  2 sin  cos 2   sin 2  2  2 sin 3   sin 2;

u

 2  2 sin 2

 cos 2 ,

2u

 4  2 sin 2   sin 2.



2

Сөйтіп,

u  6sin 2   sin 2  4cos 2   sin 2  2sin 2   sin 2  4sin 2 

 sin 2  6sin 2   4cos 2   2sin 2   4

  sin 2  4sin 2   4cos 2   4   0.

Демек, өріс гармониялық.

58

Жаттығу есептері.

1.

u ( x, y )  16  x 2  y2

–

өрісінің анықталу

аймағын және деңгей

сызықтарын табыңдар.

2.

u ( x , y , z)  arcsin

x

– өрісінің анықталу аймағын және деңгей

y 2

 z2

беттерін табыңдар.

3.

u(x, y)  sinx2  y2 

–

өрісінің анықталу

аймағын және деңгей

сызықтарын табыңдар.

4.

u(x, y, z) 

x2  y 2

– функциясының анықталу аймағын және деңгей

z

беттерін табыңдар.

5.

u(x, y, z)  x2  2 y2

 3z 2

 xy  4x  2 y  4z

– өрісінің M (0,0,0)

нүктесіндегі градиентін табыңдар.

6.

u(x, y)  3x2 y  3y3

 y4

– өрісінің M (1,2)

нүктесіндегі градиентін

табыңдар.

7.

u(x, y)  arctg

y

– өрісінің градиентін табыңдар.

x

8. Цилиндрлік координаталарда берілген скалярлық өрістің градиентін табыңдар: u ( M )  r ²  z ² ³  rz  3;

8. Сфералық координаталарда берілген скалярлық өрістердің градиентін табыңдар:

а) u ( M )  a ² cos ;

ә) u ( M ) 	a sin		1  3cos2 		, ( a  Const ).
	3		
10. u(x, y)  x2		 y2  3x  2 yскалярлық				өрісінің координаталар
басынан P(3,4) нүктесіне қарай бағытталған						түзу бойынша алынған
туындысының бас нүктедегі мәнін табыңдар.

11. u ( x, y , z )  xy ²  z ³  xyz – өрісінің координаталар өстерімен сәйкес 60°, 45°, 60° бұрыш жасайтын бағыт бойынша алынған туындысының M (1;1; 2) нүктесіндегі мәнін табыңдар.

59

12. u(x, y)  ln( x  y) өрісінің A(1,2) нүктесі арқылы өтетін y ²  4x

парабола бойынша алынған туындысының сол А нүктесіндегі мәнін табыңдар.

13.	u(x, y)  x2  y2	 x  y өрісінің (1;1) нүктесіндегі өсуінің ең үлкен
жылдамдығын табыңдар.
14.	u(x, y, z)  2xy  2z өрісінің		x  3cost,	y  3sin t, z  4t	бұранда
сызығының бағыты		бойынша	алынған	туындысының	M (x, y, z)

нүктесіндегі t  ³₂  параметрінің мәніне сәйкес келетін мәнін табыңдар.

15. A( M )  ¹_x i  ¹_y j өрісінің векторлық сызықтарын табыңдар.

15. A( M )  _x¹₂ i  _y¹₂ j  _z¹₂ k өрісінің векторлық сызықтарын табыңдар.

17. A( M )   x ²  y ²  z ² i  2 xy j  2xzk өрісінің векторлық сызықтарын табыңдар.

18. Симметриялы сфералық өрістің векторлық сызықтарын табыңдар.

18. Векторлық өрістердің дивергенциясын есептеңдер:

а)

  

,

– айнымалы нүктенің радиус-векторы,   Const ;

A

r

r

ә)

  4 x 2 z  3  i   2 xy  3 

  6 xyz  9

;

A

j

k







, мұндағы

және

– тұрақты векторлар.

б)

A

b

r

c

b

c

xy

x







20. A  e

cos z  i  arctg

 sin z j

 ctgz  k

–

өрісінің

M 1; 1,

2



y





нүктесіндегі дивергенциясын есептеңдер.

xy

y

1

z



5

; 



;  2



21. A  ln

cos y  i

 arcsin

 j 

 k

ln

–

өрісінің

M





9

3

z

x

x

y





нүктесіндегі дивергенциясын табыңдар.

cos

z3

22. Цилиндрлік координаталарда

берілген

A 

 sine



e

e

r

r



r

z





1 

векторлық өрісінің M 

3;

;



нүктесіндегі дивергенциясын табыңдар.



3

3 

60

23. Сфералық координаталарда берілген

A  cos ²  e _p  sin  cos  e_  sin ²  sine_

векторлық өрісінің дивергенциясын есептеңдер.

24. A  ( x  2 y )i  z j  (3 y  z ) k – векторының x²  y²  z ² 1 – сфера-сының бірінші октантада жатқан бөлігі арқылы өтетін ағынын табыңдар.

25.

 y 2 i  z 2

 z 2

векторының

x 2



y 2



z2

 1 – эллипсоид беті

A

j

k

a 2

b 2

c2

арқылы өтетін ағынын Остроградский формуласы бойынша есептеңдер.

26.

x  0 , y  0 ,

A

 3xi

 2z j  yk – векторлық өрісінің x  y  z  2;

z  0 пирамидасының толық беті

арқылы

өтетін

ағынын

екі тәсілмен

есептеңдер.

27. Сфералық координаталарда берілген

 2  sin   cos2 



cos 



sin   sin

A

e

e

e



 

2



векторлық өрісінің   R – сфера беті арқылы өтетін ағынын табыңдар.

28. Цилиндрлік координаталарда берілген

A  re_r  ze_

векторлық өрісінің мына: z  0 , z 1, r 1 тұйық беті арқылы өтетін ағынын табыңдар.

29. Векторлық өрістердің роторын (құйынын) есептеңдер:

а) A  sin 2 x  y  z 2i  j  k ;

ә) A  arctg x  y  z i  3 j  2k ;

б) A  r c ( c  тұрақты вектор).

30. Цилиндрлік координаталарда берілген векторлық өрістердің роторын есептеңдер:

а) A  r ² ze_  rz ² e_z ;

ә) A  r sin  e_r  z cos  e_  r sine_z ;

б) A  re_r  ze_ .

31. Сфералық координаталарда берілген векторлық өрістердің роторын табыңдар.

а) A  c  e_  ( d   ) sine_ (c, d – тұрақты шамалар).

ә) A  (2   c cos  )e_  c sin  e_   cose_ ( c  Const ).

61

32. (x  R)2  y2  R2

шеңберінің

ОА

доғасы

бойынша

  x 2  y 2  2Rx  i  R x  y 

векторлық

өрісінің

сызықтық интегралын

A

j

есептеңдер. Мұнда O 0, 0, A( R, R) .

33.

x  b cost ,

A

 yi

–

өрісінің

XOY

жазықтығында

орналасқан

y  b  bsin t

шеңберінің

контуры

бойымен

алынған

циркуляциясын

табыңдар.

34.

  x  z i   y  z 

  y  x 

–

векторлық

өрісінің

A

j

k

( y  1) 2  ( z  1) 2 1,

x  5

шеңберінің

бойымен

алынған

циркуляциясын

Стокс формуласы бойынша есептеңдер.

35.

 yzi  zx

–

өрісі

потенциалды ма,

жоқ

па, соны

A

j

 xyk

тексеріңдер. Потенциалын табыңдар.

36. Цилиндрлік координаталарда берілген

 z cos 

 z sin 

 r cosez

A

er

e

өрісінің потенциалын табыңдар.

37. Сфералық координаталарда берілген

A  cos  sin  e_  sin  sin  e_  ctg cose_

өрісінің потенциалын табыңдар.

38. Төмендегі векторлық өрістер соленоидтық па, жоқ па, соны тексеріңдер:

а) A  x 2 z  x  i  y 2 x  y  j  z 2 y  z k ;

ә)



r

cos 

 r sin

A

e

e

 ze

;

z

r



z

б)



2 cos

 sin

.

A

e

e

2





39. Формулаларды дәлелдеңдер:

а) , _ a , b _    , _ a , b_c _    , _ a_c ,b_;

ә)   a, b     a , b_c  a_c ,b.

Мұндағы a_c , b_c  уақытша тұрақты векторлар.

40. Есептеңдер: div _ A, r _ ( A  Const ).

62

41. A  sin 3 x  y  2z x ² i  y ² j  z ² k  – векторлық өрісінің туындысын табыңдар.

41. Скалярлық өрістердің градиентін есептеңдер:

    • A, ( r )  r  ( A  Const );

ә)	u 	1	( c  Const ).
		c , r 2

43. Векторлық өрістердің дивергенциясын есептеңдер:

а) A  ( r ) c ( c  Const );

ә) A  _ r , _ A, r __ ( A  Const ).

44. Векторлық өрістердің роторын табыңдар:

а) A  c ( r ) ( c  Const ); ә) A  r ³  r .

45. Есептеңдер: A( r ), B ( r ).

45. A  _ a , r _ ( a  Const ) векторлық өрісінің b векторы бағытындағы туындысын табыңдар.

45. Дәлелдеңдер: rot grad u  0 .

45. Дәлелдеңдер: rot rot A  _, _, A__ .

45. Дәлелдеңдер: div rot A  0 .

45. Скалярлық өрістер гармониялық па, жоқ па, соны анықтаңдар:

а) u  2 z ²  ( x  y)² ;

ә) u  r ²  cos 2  r ; б) u   cos ²   cos 2 .

63

ЕКІНШІ ТАРАУ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ