§16. Жылу өткізгіштік теңдеуі

Айталық, u(x, y, z, t) функциясы t моментінде S бетімен шектелген,

біртекті және изотропты G денесінің кез келген нүктесінің температурасы болсын. Осы функция қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеу төмендегідей түрде жазылады:

u

 a 2



 2 u



 2 u



2u 

 A( x , y , z , t )

t



x

2

y

2

z

2







немесе

					u	 a 2 u ( x, y , z , t )  A( x , y , z , t ).	(59)
					t
Мұндағы	a2 			– тұрақты шама ( – жылу өткізгіштік коэффи-
			CГ
циенті, С – жылу сыйымдылық коэффициенті, Г – тығыздық);
A( x, y , z , t )	–	жылу көздерінің (немесе егер A  0 болса,					жылу

сіңіргіштерінің) таралу тығыздығы, оны берілген және үзіліссіз деп ұйғарамыз.

Егер A(x, y, z,t)  0 болса,			онда (59) –	теңдеу мынадай түрге
келтіріледі:
	u		 a 2 u ( x , y , z , t ),	(60)
	t

ол еркін жылу алмасу теңдеуі деп аталады.

97

Егер G денесінің ішкі температурасы тұрақтанса, яғни температура уақытқа тәуелді болмай, тек (x, y, z) нүктесіне ғана тәуелді болса, онда

(60) – теңдеу:

u ( x, y , z)  0

(61)

түрінде жазылатын болады. Бұл теңдеу температураның стационарлық үлестіру теңдеуі деп аталады.

Жылу өткізгіштік теңдеуінің шешімдерінің ішінен біреуін бөліп алу үшін қосымша шекаралық және бастапқы шарттардың берілулері қажет.

а) Егер G аймағының температурасы уақытқа тәуелді болса, яғни температураның үлестірілу заңы стационарлы болмаса, онда ол заңды анықтау үшін (59) немесе (60) – теңдеудің және төмендегідей қосымша шарттардың берілулері қажет:

u ( x, y , z , t ) _{t 0}  f ( x, y , z), u ( x, y , z , t ) _S  ( x, y , z , t ).

Мұндағы f (x, y, z) – дененің бастапқы уақыттағы ішкі температура-сының үлестірілуі; (x, y, z,t) – S бетінде берілген функция.

б) Егер дененің ішкі температурасы уақытқа тәуелді болмаса, яғни температураның үлестірілу заңы стационарлы болса, онда ол заңды табу үшін (61) – теңдеуге қосымша тек шекаралық шарт қана қойылуы қажет:

u ( x, y , z ) _S  ( x, y , z) ,

мұндағы (x, y, z) – S бетінде берілген функция.

Жылу өткізгіштіктің сызықтық есебі

Айталық, G денесі ох өсінің бойында орналасқан жіңішке, біртекті, изотропты сыртқы ортадан оңашаланған өзек пішінді болсын делік.

Осы өзектегі температураның үлестірілу заңы

^u _{ a} 2 ^2u _{ A( x , t )}

t x²

теңдеуімен, ал еркін жылу алмасуы болған жағдайда

^u _{ a}2 ^2u t x²

теңдеуімен өрнектеледі.

Бұл жағдайда бастапқы және шекаралық шарттар:

u ( x, t )		t 0  f ( x),	(62)

98

u ( x, t ) _{x a}  0, u ( x, t ) _{x b}  0

түрінде жазылады.

Мұндағы а және b өзектің сәйкес сол және оң жақ ұштарының

абсциссалары.

Егер ақырсыз өзек бүкіл ох өсімен

беттесетін болса

(яғни a  ,

b   ), онда шекаралық шарттар қойылмайды.

Бұл жағдайда бастапқы

шарттың (62) берілуі жеткілікті болып табылады.

Енді жылу өткізгіштік теңдеуін Фурье әдісін пайдаланып, қалай

шешуге болатындығына тоқталайық.

1. Өзектің ақырсыз болатын жағдайы.

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

теңдеуінің

D(   x  , t  0)

аймағындағы

t

бастапқы шартты қанағаттандыратын

u ( x, t )

t 0  f ( x ) (   x  )

шешімі Пуассон интегралы арқылы өрнектеледі:

1



( x)2

u ( x , t ) 

 f ( ) e 

d.

4a 2 t

2a

t



2. Өзектің бір жағынан ғана шектелген жағдайы.

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

теңдеуінің

D(0  x  , t  0)

аймағындағы

t

бастапқы:

u(x,t)

t 0  f (x)

және

шекаралық: u(x,t)

x0  (x) шарттарын

қанағаттандыратын шешімін

1







(  x )

2



( x)

2



x

t



x2

3

u ( x , t ) 

 f ( )  e

4 a 2 t  e

4a 2 t

 d 

 ( )  e 4 a 2 ( t

 ) (t  ) 

2

d

2 a  t

0





2a 

0





формуласы бойынша табамыз.

3. Өзектің екі жағынан бірдей шектелген жағдайы.

Теңдеудің

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

D(0  x 

, t  0)

аймағындағы бастапқы:

t

u ( x, t )

t 0  f ( x) және шекаралық шарттарды:

а) u

x  0  u

x  0 ;

б)

u



u

 0

x

x  0

x

x

қанағаттандыратын шешімін табу қажет.

а) жағдайында есептің дербес шешімі мынадай қатар түрінде:

	  a 2		sin  x	,
u(x,t)  b e 		
			t

 1

99

мұнда b_  ² _ f ( x ) sin ^{ x} dx,

0

ал б) жағдайында

u(x,t)  a e

  a 2

cos

 x  a0 ,







 



t

 1

мұнда a 

2

 f ( x ) cos  x dx,

a0



1

 f ( x )dx

0

0

қатары түрінде жазылады.

4. Теңдеудің

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )  A( x, t )

D(0  x  , t  0)

аймағындағы

t

бастапқы: u(x,t)

t 0

 0 және шекаралық:

u ( x, t )

x0  0, u ( x, t )

x  0

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу қажет.

Есептің шешімін:



n x

u ( x , t )  n (t ) sin

(63)

n1

түрінде іздейміз.

Мұндағы

 n (t )  t

e  n2 ( t  ) An ( ) d ,

0

An (t ) 

2

 A( x , t ) sin

n x

dx,

0





n a

.

n

_n (t) функциясын есептеп, мәнін (63) – теңдікке қоямыз. Сонда

t
u ( x, t )  G x ,  , t   f  ,  d  d ,
0 0
мұндағы	(64)
G x,,t    2 en2 (t  ) sin n x sin n ,



n1

100

_n  ^{n a} .

(64) – функцияны лездік нүктелік жылу көзінің функциясы деп немесе кейде Грин функциясы деп те атайды.

5. u ( x, t )  a 2u		xx	( x, t )  A( x, t ) теңдеуінің								(65)
t
				D(0  x  , t  0)
аймағындағы қосымша
					u ( x, t )		t 0  ( x)				(66)
			u ( x, t )		x  0   1 (t ), u ( x, t )				x	2 (t )	(67)
шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу қажет.
Бұл есепті	«Шектелген				өзекте жылудың					таралуы»	тақырыбында

қарастырылған есепке оңай келтіруге болады. Шынында, u ( x, t )  V ( x, t ) W ( x, t ) деп ұйғарамыз. Мұндағы V ( x, t ) мынадай:

V ( x, t )  a 2V ( x, t ), V

t  0

  ( x ), V

x  0

 

(t ), V

x



2

(t ),

t

xx

1

ал W ( x, t ) :

W_t ( x, t )  a ²W_xx ( x, t )  A( x, t ),

W _{t  0}  0, W _{x  0}  0, W _x  0

есептерінің шешімдері болып табылады.

Ескерту. (65) – (67) есепті жаңа белгісіз V (x, t) функциясын u ( x, t )  V ( x, t ) U ( x, t ) теңдігі арқылы енгізіп, шекаралық шарттары біртекті болатын шеттік есепке келтіру арқылы да шешуге болады.

1-мысал. ut ( x, t )  u xx ( x, t ) теңдеуінің								D(   x  , t  0) аймағындағы
бастапқы шартты:
				x				0  x 
		1			,		егер
		
				x
u ( x , t )	t 0	 f ( x)  1				,	егер		 x  0
								x 	жэне x  
		0,					егер
		
		

қ анағаттандыратын шешімін табыңдар.

Шешуі. Есептің шешімін Пуассон интегралы түрінде іздейміз:

101

		1 						  	4t
						0			(  x ) 2
u ( x , t ) 							 1 	 e
		t
2								
						
					

d 	0			 		( x)2
						4t
		 1		e
				



d .



а)  

x

  ,

d  2

алмастыруын

жасау

арқылы

бірінші

td

2

t

интегралды түрлендіреміз, яғни



x



x



x

2 t



x  2

  

2 t

2 t

x  2



1

t

2

1

2

1

t

2



 e  



 1



e  

 2 t d  

d  

e  

d 

2  t







 x







 x



x

2 t

2

t

2

t





x





x



x

0

1



2

2 t

2



x

2 t

2

2 t

2 t

2







e  

d   

e  

d  





e  

d  

  e  

d 



 







 x

0



 x



x



2

t



2

t

2

t

 

x



x







x



0

1



2 t

2

2 t

2



x



2

2 t

2





 



e  

d  



e  

d 









e  

d  



e  

d  







0

0







x

0









2

t





x

1 

 x 

2 t

2

t

2



x 





 e d 

  



   



 



2

2 t



x





2 t 





2

t



x





x 



 x



2

t

x

t

2



   

   



 

e



2

2 t







2 t 





x



2

t

 

x 







x 



 x 



x2

 x2 

1

x

1 t





 e

.



  1 









 

 1 



 







4 t

 e

4t

2



2 t

2 t

 























б)  

  x

алмастыруын жасап,

екінші интегралды да осыған ұқсас

2

t

түрде түрлендіреміз. Сонда

1



 



 x2



 1 

e

4t

d 

2

t

0 



102

4a ² t

4a ² t

 

x 



 x 



x 



x 



 x2

x2



1

t





 e

.



  1





 



  1





 







4 t

 e

4t

2



 





2 t 







2 t 









Енді бірінші және екінші интегралдардың мәндерін орындарына қоялық. Сонда

u ( x , t

• ^{1t }_{ e} ^ 4 t

• 

_²x

							 x2
	t
						 e 	4 t e 
						
						

1

 

x 



x 



x 



 x 

) 

  1 

  





  1



 







2

2 t

 













2 t 



x2



1

 

x



  x 



x 



x









 e

4t



  1 



 

 

 1







 





2



 



 2 t









2 t 



x2



1

 

x





 x 

x

 x





x 

 x 

4t 



  1



  



 2

 





 1





 

2

2 t



 







 2 t 





 2 t





  x  2

x2

 x2



1 t



 e 

  2e 

 e



.

4 t

4 t

4t











^_^  

2-мысал.	u (x,t)  a2u	xx	теңдеуінің	D(0  x  , t  0) аймағындағы
	t

қосымша шарттарды:

		0,		егер	x  0;
u ( x , t )			,	егер	0  x  ;
	t 0	 f ( x )  u0
				егер	 x;
		0,

u ( x, t ) _х0  0

қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

Шешуі. Есептің шешімін мынадай түрде іздейміз:

		1					( x)2
u ( x , t ) 					 f ( )  e 
							4 a 2 t
	2a	t		0		
						

_{ e} ^{ x2}  ^_{ d.}





немесе

	u0				( x)2
u ( x , t ) 				 e 
					4 a 2 t
	2a t			
				0 

_{ e} ^{ x2}  ^_{ d.}





103

а)

x 

  , d  2a

td деп алып, бірінші интегралды төмендегідей

2a t

түрде жазуға болады:

x

( x)2

u 0

 e 

u0

2a

t

d  



e  2 2a

d 

4a 2 t

t

2 a

 t 0

2a

t

x

2a

t



0

2a t



x

u 



u 

 x 

 x  



2



2

0

0

 



e  

d  

e  

d

 

  

  

;



2



x

0





 2 a t 

 2a t 





2 a

t

б)

x 

  ,

d  2a

арқылы екінші

интегралды

td алмастыруы

2a

t

түрлендіреміз:

x

( x)2

u 0

 e 

u0

2a

t

d 



e  2 d 

4a 2 t

2a  t 0



x

2a

t



0

2a t



x

u 

 u 

 x 

 x  



2



2

0

0





e  

d  

e  

d



  

  

.



2



x

0





 2 a t



 2a t







2 a

t

Интегралдардың мәндерін орындарына қоямыз. Сонда

u



 x



 x 

 

u





x 

 x  

u ( x, t )  

0

  

   

  

0

  



 



2

2



 2 a t 

 2 a t

 



 2 a t 

 2a t 

немесе

u





x  

 x



 x 



u ( x , t )  

0

  

  2



  



.

2





2 a t 

 2 a t 

 2a t 

3-мысал. Төмендегі шеттік есепті шешіңдер:

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

D(0  x  , t  0) ,

t

u ( x, t )

t  0



cx (  x)

,

u ( x, t )

x  0

 u ( x, t )

x

 0, ( c  Const).

2

Шешуі. Шекаралық шарттар біртекті болғандықтан, есептің дербес шешімін мынадай қатар түрінде іздейміз:

104

  a 2

sin  x,

u(x,t)  a e 









t

 1

мұндағы

a



2



cx (

 x )

sin

 x

dx

2

0

немесе

u  x  x2 ,

 x ) sin  x dx 

du  (

 2 x ) dx,

a 

2c

 x (

d  sin  x dx,



3

0

  

cos  x





 x

 x



2c 



2

cos

(





 

x  x





2 x ) cos

dx



3







0



0







2c

(

 2 x ) cos  x dx 

u   2 x  du  2dx



d  cos  x dx

sin  x

2



 



0

2c



 x

2

 x









 2 x  sin



sin

dx









2







0



0





4c

 x

4c

0,

егер

  2n

 

cos



(1  cos  ) 





8с

  2 n 1.

( )

3

( )

3

,

егер



( )

3

0



4-мысал.

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

теңдеуінің

D(0  x 

, t  0)

аймағындағы

t

қосымша шарттарды:

u ( x, 0)  0,

u (0, t )  A, u (

, t )  B (А, В – тұрақтылар)

қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Шешуі. Жаңа белгісіз  ( x, t ) функциясын

 ( x, t )  u ( x, t ) U ( x, t )

теңдігі арқылы енгіземіз. Мұндағы

105

U ( x, t )  A  ^{B  A} x

Бұл функцияны шекаралық шарттарды қанағаттандыратындай етіп таңдап аламыз.

Сонда  (x, t) функциясы төмендегідей шеттік есептің шешімі болып табылады:

 t ( x, t )  a 2xx ( x, t ),

(68)



B  A





x  0

 0,



x   0, 

t 0

   A



x .

(69)

(68) – (69) есептің шешімін









 a 2

 x

(70)

V (x,t)  C e 

e



sin



 



t

 1

e

түрінде іздейміз. Мұндағы

2



B  A



 x

2

 x

2( A  B )

 x

C  

  A 

x sin

dx  

A  sin

dx 

x sin

dx 

2

0 



0

0



2 A

(cos   1) 

2( A  B )

 x sin

 x

dx.



2

0

Соңғы интегралды бөлшектеп интегралдау әдісімен шешеміз:

 x sin  x dx 

u  x



du  dx



d  sin

 x

dx

   

cos

 x

0



  cos

 x dx    cos 

 2 2 sin  x



   x cos  x

2

2

0

0

0

2

  _ cos .

Интегралдың мәнін орнына қоямыз. Сонда

C 

2 A

(cos   1)



2( A  B)

2 cos 



2

( B cos   A).

2









106

C_ -нің мәнін (70) – теңдікке қойып

  a 2

 x табамыз.

V (x,t)   2 (B cos  A)e  e



sin







t

 1



e

Табылған V (x,t) функциясының мәнін ескеріп

u ( x, t )  V ( x, t )  U ( x, t ) 

 A  B  A x 

  a 2

sin  x.

2  1   1 B  Ae 



t







 1









5-мысал. Біртекті емес теңдеу үшін қойылған шеттік есепті

шешіңдер:

u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )  f ( x, t ),

f ( x , t )  u

(

 x) sin t

t

0

D(0  x 

, t  0) ,

u ( x, t )

t  0  0,

u ( x, t )

x  0  u0 cos t ,

u ( x, t )

x  0

( u0 ,  – берілген сандар).

Шешуі. Жаңа белгісіз  (x,t) функциясын енгіземіз:

u ( x, t )   ( x, t ) U ( x, t ),

мұндағы U ( x , t )  u₀ ^ 1  ^{x }cos t,

 

а л  (x,t) функциясы мынадай есептің шешімі болып табылады:



( x, t )  a 2 v

xx

( x, t )  f ( x, t )  U ( x, t )  0

t

t



x 

,  ( x, t )

x  0   ( x, t )

 0.

 ( x , t )

t 0

 u0  1 



x





Бұл есепті де Фурье әдісімен шешуге болады. Шешімін (70) – формула түрінде іздейміз:

107





 2 a2 2

t

 x

e2

 ( x , t )  С e

sin

e

.

 1

Мұндағы

C  

2u

0





x



 x

dx 

u  1 

x

 du  

1

dx



 1

sin

 x

 x

0 



d  sin

dx



  

cos



2u0



x

1



 

 

 1 

cos  x





cos  x dx 











0









0



 

2u





1

 x



 

2u

0

0



sin



.

 

 







2u



1



 2 a2

2

0



 x

t

2

 ( x , t )  

0



e

e

sin

.





e

 1



x



2u



1



 2 a2

2

t

 x

0

2

Сонымен, u ( x , t )  u0  1 

cos t 



e

e

sin

.





e





 1

6-мысал. Теңдеудің:

u ( x , t )  36u

( x, t ) 



cos  x

D(0  x  2,

t  0)

xx

t

10

2

аймағындағы қосымша шарттарды:

u ( x, 0)  0, u (0, t )  0, u _x (2, t )  0

қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Шешуі. 1) Алдымен мына есепті шешелік:

u_t ( x, t )  36u _xx ( x, t ), u ( x, t ) _{x  0}  0, u _x ( x, t ) _x2  0.

Бұл есепті Фурье әдісімен шешеміз. Шешімін u ( x, t )  X ( x )  T (t ) түрінде іздейміз. Ізделінді шешімді біртекті теңдеуге қоямыз.

T (t )  X ( x )  36T (t )  X ( x) 

T (t )		X ( x)	   2	 X ( x )  2 X ( x)  0 
36T (t )		X

108

X ( x )  c1 cos  x  c2 sin x				с1  0, с2	 0
	 0,	X (2)  0.
X (0)
		X ( x )   c1 sin  x  c2  cos x

X (2)  c  cos 2  0



cos 2  0



    

2

4

2

X  ( x )  sin













4

2

 x;





2) кезеңде f ( x) 



cos

 x

функциясын







 

функциялар

sin 

 x

10

2



4

2 

жүйесі бойынша Фурье қатарына жіктейміз:



 x

1



2 1

 

 

f ( x ) 

cos





sin 



 x.

3

10

2 10

 0



2

  

 42



4

 x



 





Мұндағы cos  f  sin 



 x, ал

2

 0

 4

2



2

2

 x





 

1 2 1

f  

0

cos

sin 



 xdx 

.



3

2

2



42 



2

  

4

Сонымен, берілген теңдеу мынадай түрде жазылады:

1



2 1





 

ut

( x , t )  36u xx

( x , t ) 



sin 



 x.

(71)

10

3

4

 0



2

  



2 

4

Соңғы (71) – теңдеудің шешімін



 

 

u ( x , t )  b (t ) sin 

4



2

 x

(*)

 0





қатары түрінде іздейміз. Мұндағы белгісіз b_ (t) коэффициенттерін табу үшін ізделінді шешімді (71) – теңдеуге қоямыз. Сонда



^{ }_ b_ (t )

 0 



  2







1 2 1







 

 36b (t ) 







sin 



 x  0



3



42 

10  2   





42 

4



109



^b (t )  36b (t )

_  





b (0)  0

 







 2



1

2 1





4

10

3



2 



2

  



4

2 1









 2

t 

36



b (t ) 

 1  e



4 2 

.





2

3





 2 



360





  











4

4





2 

Табылған b_ (t) мәндерін (*) – теңдікке қойып, ізделінді шешімді табамыз:



2 1









 2

t 





 

36

4



u ( x , t )  

 1  e



2 

sin 



 x.



3





 

2

 0

2







42 

360





  











4

4





2 