§11. Гамильтон операторы.

Екінші ретті дифференциалдық операциялар

Айталық, p, q, M  p, q, x, y, z – q уақытша тұрақты болған

жағдайда р-ға қарағанда сызықты, ал р уақытша тұрақты болғанда q-ге қарағанда сызықты скалярлық немесе векторлық өріс болсын, яғни

• ₁ p₁   ₂ p₂ , q   ₁  p₁ , q   ₂ p₂ , q;

•  p, ₁ q₁   ₂ q₂   ₁  p , q₁  ₂ p , q₂ .

Айталық,

p

 1 i  1

j

1

k

,

q

  2 i   2

j

2

k

болсын.

Сонда

 

,

  1 2   i , i  1 2   i ,

 1 2   i ,

 12 

, i 

p

q

j

k

j





  



  



  



  





j , j





j , k





k , i





k , j





k , k



.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2



,

 өрнегі q тұрақты болған жағдайда р-ға қарағанда сызықты

p

q

болатындықтан, ол өрнекке мына 

,





q

дифференциалдық өрнегін сәйкес

қоюға болады.



,

 өрнегін

U 





q

арқылы

белгілейік,

ал

ол q-ге қарағанда

q

сызықты. Осыған ұқсас р тұрақты болған жағдайда 

 өрнегіне 

,



p

,

q

p



дифференциалдық өрнегін сәйкес қоямыз,

оны V 



арқылы белгілейміз,

p

ал V ( p)  p -ге қарағанда сызықты болып табылады.

U q, V p өрнектері өздерінің векторлық параметрлеріне қарағанда сызықты болатындықтан, оларға §10 (38) – формуланы қолданып, екінші ретті дифференциалдық өрнектерді: U  және V -ларды құрамыз.

U -ны , арқылы белгілеп, оған қайтадан §10 (38) – формуланы қолданамыз. Нәтижесінде

52

 

,

 

 2

  i , i 

 2

  i ,



 2

  i ,



2





, i 





j

k

j

2

x

xy

xz

yx



 2

 

,





 2

 

,



 2

 

, i 

 2

 

,



2



,

.(43)

j

j

j

k

k

k

j

k

k

2

yz

z x

z y

2

y

z

p, q p, q, x, y, z функциясы x, y, z аргументтері бойынша туындыларымен бірге үзіліссіз болып табылатындықтан, оның аралас туындылары дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды. Бұдан , өрнегін ,V  теңдігі арқылы да анықтауға болатындығы шығады, өйткені U    V .

Сонымен,

егер 

,

 жіктелуіндегі

1 , 2

коэффициенттерін



p

q

x



дифференциалдау операторымен;  , 

–

операторымен, ал 

, 

–



2

2

1

y

1

z

операторымен

алмастырсақ, онда әрбір



,



өрнегіне екінші

ретті

p

q



,

 дифференциалдық өрнегі сәйкес келетін болады.







,

 өрнегінің қасиеттері және екінші ретті дифференциалдық





операциялар:

 

   11 

   2 2 



1. Егер

,

,

,

болса,

онда

p

q

p

q

p

q

•  ,     ₁₁ ,     ₂  ₂ , , мұндағы ₁ ,  ₂ – кез келген нақты сандар.

2. Егер p, q, M  өрісінің анықталу аймағының барлық нүктелерінде p, p 0 болса, онда , 0.





Мына grad u  u ,

операцияларын бірінші

div A   , A, rot A   , A

ретті дифференциалдық операциялар деп атайды.

div

 және векторлық өрістердің

grad u, rot



Скалярлық өрістің

A

A

бес екінші ретті туындылармен сипатталатындығына оңай көз жеткізуге болады:

divgrad u , rotgrad u , graddiv A, divrot A, rotrot A.

Осы екінші ретті туындылардың әрқайсысын «набла» операторы арқылы өрнектейік:

1. divgrad u   , u    ,   u  ²u.

Векторды квадрат дәрежеге шығару ережесі бойынша

2







 2

 2

 2

2



  i

 j

 k









.

x

y

x

2

y

2

z

2



z 

53

² − операторы математикалық физикада кең түрде қолданылады, ол Лаплас операторы немесе лапласиан деп аталады. Оны гректің ∆ (дельта) әрпімен белгілейді.

Сонымен, divgrad u  u.

2. rotgrad u шамасын алу үшін  операторын алдымен скалярлық, содан кейін векторлық түрде қолдану керек. Сонда

rotgrad u  _, u _  _,  _ u  0,

яғни потенциалды өріс құйынсыз деген сөз.

3. div rot A   , _, A _    _,  _ , A 0.

Сонымен, div rot A әрқашанда нөлге тең болады:

div rot A  0.

Бұл тепе-теңдіктің физикалық мағынасы мынадай: векторлық сызықтардың не басы, не аяғы болмайды, олар не тұйық немесе ақырсыз болады.

4. rot rot A  _, _, A__.

Векторлық көбейтінді ережесі бойынша









   , A    , A.

, , A  

Сөйтіп, rot rot

A

 grad div

A

 

A

.

(44)

5. Соңғы (44) – формуладан

grad div

 rot rot

 

(45)

A

A

A

болатындығы шығады.

1-мысал. div rot A  ,, A 0 болатындығын дәлелдеңдер ( A − векторлық өріс).

Шешуі. І-тәсіл.

,, A өрнегіне p, q q,p, A теңдігі сәйкес келеді. Сонда

U q     , q    q , _, A _  q , rot A.

Демек,   ,    U     , _, A _   , rot A   div rot A.

54

Екінші

жағынан,

 

,

  

, 

,

  



 

, 

,

 0 ,

p

p

p

p

A

p

p

A

A

p

p

A

p

p

себебі 

,

  0.

p

p







  div rot

Сонымен,  

,

 

, 

,

 0 , д.к.о.е.









A

A

Ескерту. Бұл дәлелдеуді қысқаша былайша жазуға болады:

div rot

 

, 

,

  



 

, 

,

  0.

A





A



A

A



A





ІІ тәсіл. Айталық,

 P ( x, y , z )i  Q( x, y , z )

 R ( x, y , z )

, мұндағы P, Q,

A

j

k

R – функциялары, өздерінің екінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз функциялар.