§3. Скалярлық өрістің бағыт бойынша алынған туындысы

Айталық, u(M ) скалярлық өрісі берілген аймақтан, бір M ₀ нүктесі

алынған болсын. Осы нүктеден шығатын кез келген сәулесін қарастырайық.

Анықтама. u(M ) өрісінің М нүктесіндегі бағыты бойынша алынған туындысы деп

u	 lim		u M 0 	 u M 	(9)
			M 0 M
	M 0	M

9

шегін айтады. Мұндағы айнымалы M ₀ нүктесі М нүктесіне сәулесінің

бойымен ұмтылады деп есептелінеді.

Декарт координаталарында берілген өрістің бағыт бойынша алынған туындысын төмендегі формуланы пайдаланып есептеуге болады:

u		u cos  	u cos  	u cos  ,	(10)
		x	y	z

Мұндағы , , – сәулесінің координаталар өстерімен жасайтын бұрыштары.

Егер бағыты белгілі бір S векторы арқылы берілген болса, яғни

S  a₁ i  a₂ j  a₃ k , онда



a1

a1

cos  



,



S

a12  a22  a32





a

a

cos  

2



2

,

(11)



S

a12  a 22  a32



a3

cos  

a3



.



2

2

2



S

a1

 a2

 a3

Айталық, егер S векторы бірлік вектор болса, онда

cos   a₁ , cos   a₂ , cos  a₃

теңдіктері орындалады.

(10) – теңдіктің оң жағын екі:

grad u  ^_^u_x i  ^_^u_y j  ^_^u_z k

және

  cos  i  cos  j  cos k

векторларының скалярлық көбейтіндісі түрінде қарастыруға болады. Сонда

u

 grad u M 0 ,  M0 

(12)



немесе

u



grad u M

0 



  M 0 

cos  

grad u M 0 

cos ,

(13)



10

мұндағы   grad u M₀  және  M ₀  векторларының арасындағы бұрыш. (12) – өрнектен, grad u – u(M ) функциясының ең жылдам өсу

бағытын көрсететін вектор екендігі және модулі бойынша

сол бағыт бойынша алынған туындысына тең болатындығы сызық параметрлік түрде берілсе, онда бірлік жанама формула бойынша анықталады:

_{ } r (t ) _ r (t ) _. r (t ) S (t )

u(M ) өрісінің

шығады. Егер вектор мына

(14)

Кейде бағыт бойынша алынған туындыны есептегенде u(M )

функциясын t

арқылы өрнектеп, одан

кейін

төмендегідей формуланы

қолданған тиімді болады:

u



du



dt



du



1

.

(15)



dt

dS

dt

dS

dt

1-мысал.

u(P)  y2 z  2xyz  z 2

өрісінің

P (3;1;1) нүктесіндегі ox ,

oy ,

0

oz координаталар өстерімен

сәйкес

 



,

 





 

 

3

4

және  





2 

бұрыштарын жасайтын векторының бағыты бойынша алынған туындысын табыңдар.

Шешуі. Өрістіңбағыты бойынша

алынған

туындысын (10) –

формула бойынша есептейміз:

u 

u cos   u cos  

u cos .



x

y

z

1

, cos  

2



1

, ал

мұндағы cos 

, cos   1  cos 2

  cos2 

u

2

2

u

2

 2 yz ,

u

 2 yz  2xz ,

 y 2  2 xy  2z ,

x

y

z

u

 2 ,

u

 4 ,

u

 3 .

x

y

z

P0 (3;1;1)

P0 (3;1;1)

P0 (3;1;1)

Сонда ізделінді туынды:

u

5  4

.

 ( 2) 

1

 ( 4)

2

 ( 3) 

1

 

2



P (3;1;1)

2

2

2

2

0

11

				2-мысал.					u  xyzскалярлық өрісініңM (1, 1, 1) нүктесіндегі
				 2		 2			бағыты бойынша алынған туындысын табыңдар.
			i		j		k

Шешуі. Өрістің туындысын табу үшін (12) – формуланы пайдаланайық. Берілген өрістің М нүктесіндгі градиенті

grad u ( M )  i  j  k ,

   ¹₃ i  2 j  2k .

u

  grad u ( M ),   1 

1



2 

2

1

Демек,



 1



  1 



.

M

3



3 

3

3

3-мысал.

u(P)  4x3

 3y3

өрісінің P (1;1) нүктесіндегі, осы нүктеден

0

P(4;5) нүктесіне қарай бағытталған

түзуі бойынша алынған туындысын

табыңдар.

Шешуі. Өрістің P0 нүктесіндегі градиенті:

grad u ( P0 )  12i  9

тең болады.

j

Енді бағытындағы 

-бірлік векторын табалық:



(4  1)

 (5 1)



3



4

i

j



.

i

j

(4  1) 2  (5 1)2

5

5

Сонда

u

  grad u ( P0 ),   12 

3

 ( 9) 

4

 0



5

P0

5

Туындының нөлге

тең

болуы

векторының деңгей

сызығына

жүргізілген жанаманың бойымен бағытталатындығын білдіреді.

4-мысал.

u(P)  x2  y2  2xy  z 2

функциясының

P (1, 1, 0)

0

нүктесіндегі ең үлкен өсу бағытын табыңдар.

Шешуі. Функцияның ең үлкен өсу бағыты – ол u(P) өрісінің P0

нүктесіндегі градиентінің бағытымен:

grad u(P0 )  4

,

i

яғни ОХ өсінің оң жарты бағытымен дәл келеді.

5-мысал.

u(P)  x2

 yz

скалярлық

өрісінің

x  a cost ,

y  a sin t ,

z  bt бұранда сызығы бойынша алынған

t  

мәніне сәйкес келетін P

2

0

н үктесіндегі туындысын табыңдар.

12

Шешуі.

Берілген бұранда

сызығы x2  y2  a2 цилиндрінде

орналасқан.

b

P нүктесінің координаттары:

x  0 , y  a , z 

тең болады. Енді

0

2

grad u(P) есептейік:

grad u ( P ) 

u



u

 u

i

j

k

 2xi

 z j  yk ,

x

y

z

ал P0 нүктесінде

grad u ( P )  b

j

 ak

.

0

2

Бұранда сызығына P0

нүктесінде жүргізілген бірлік жанама векторын

табалық.



(t)

табамыз.

r

(14) – формула бойынша: 

r(t)

r

(t )  a cos ti

 a sin t j  btk болатындықтан,

r(t)  asin ti  a cost j  bk.



.

Демек,

t 

болғанда





ai

 bk



2

a 2  b2

Сонда

u



ab

.



t 

a 2  b2

2

Бұл есепті басқа да жолмен шығаруға болады.

Бұранда сызығының x, y, z мәндерін скалярлық өрістің өрнегіне қоямыз. Сонда

u (t )  a ² cos ² t  abt sin t .

Бұл өрістің туындысын (15) – формула бойынша есептейік.

		u		u			1		,
				t			ds
							dt
мұнда	u	 2 a 2 cos t sin t  ab sin t  abt cos t .
	t

13

t  ^₂ болғанда ^_^u_t  ab ,

	ds			dx 2
ал					
	dt
			 dt 

•  dy ²    dt 

•  dz ²

  екендігін ескеріп,

 dt 

ds

 a sin t 2   a cos t 2  b 2



 a 2  b2 табамыз.

dt

Сонда

u



ab

.



a 2  b2