ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ

Н.Қ. Машрапов, Г.Н. Машрапова

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ӘДІСТЕРІ Тәжрибелік курс

Университеттердің және педагогикалық институттардың физика-математика факультеттерінің студенттеріне арналған

Павлодар

2012

УДК 517.958

ББК 22.31я73

М 32

Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының Ғылыми кеңесі ұсынды

Рецензенттер:

М.Х. Хамитов – ф.-м.ғ.к., доцент, С.Торайғыров атындағы ПМУ профессоры, әлеуметтік ғылымдар академиясының академигі.

А.Қ. Алпысов – педагогика ғылымдарының кандидаты, Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының доценті.

Машрапов Н.Қ., Машрапова Г.Н.

• 32Математикалық физика әдістері. Тәжрибелік курс: Оқу-әдістемелік құрал. –

Павлодар: ПМПИ, 2012. – 132 бет.

ISBN 978-601-267-168-1

Бұл оқу-әдістемелік құралда өрістің математикалық теориясы мен математикалық физика теңдеулері туралы қысқаша теориялық мәліметтер берілген және тәжрибелік сабақтарда оларды қалай пайдалануға болатындығы қарастырылған.

Isbn 978-601-267-168-1

© Н.Қ. Машрапов, Г.Н. Машрапова, 2012. © Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты, 2012.

2

АЛҒЫ СӨЗ

Оқушылардың назарына екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді интегралдау әдістеріне және оларды физикалық, техникалық жүйелерді зерттеуге арналған оқу-әдістемелік құралды ұсынып отырмыз.

Оқу құралы «Математикалық физика әдістері» пәні бойынша пединституттардағы «Физика» мамандығының мемлекеттік стандартына сәйкестендіріп жазылған.

«Математикалық физика әдістері» пәні бойынша қазақ тілінде жарық көрген оқу-әдістемелік құралдар өте аз. Авторлар осы оқу-әдістемелік құралды қазақ тілінде алдыңғы жылдары жазылған құралдарға шағын қосымша деп санайды.

Аталған оқу-әдістемелік құралда өрістің математикалық теориясы мен математикалық физика теңдеулері туралы қысқаша теориялық мәліметтер берілген, теңдеулерді шешу әдістері көптеген мысалдар арқылы түсіндірілген.

Бұл оқу-әдістемелік құралды университеттердің, пединституттардың физика-математика факультеттерінің студенттері, магистранттары толық пайдалана алады.

Авторлар бұл оқу-әдістемелік құралды жазу барысында С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің профессоры, Әлеуметтік ғылымдар академиясының академигі М.Х. Хамитов, педагогика ғылымдарының кандидаты, Павлодар мемлекеттік педагогикалық интистутының доценті А.Қ. Алпысов жолдастарға айтқан құнды пікірлері үшін шын жүректен алғыстарын білдіреді.

Авторлар

3

БІРІНШІ ТАРАУ

ӨРІСТІҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫ

§1. Скалярлық өріс. Негізгі ұғымдар

Егер V  аймағының әрбір Р нүктесіне анықталған uP саны сәйкес келетін болса, онда V  аймағында скалярлық өріс берілген деп айтады.

Егер V  аймаға үш өлшемді болса, онда скалярлық өріс ұғымы үш айнымалы функция ұғымымен бірдей болады.

Егер uP-нің мәні белгілі бір белгіленген жазықтыққа жүргізілген кез келген перпендикулярдың бойында тұрақты болатын болса, онда uP скалярлық өрісі жазық деп аталады.

Өрістің мәні тұрақты болатын бетті деңгей беті немесе эквипотенциалды бет деп атайды. Деңгей беті

u P  = с немесе ux, y,z= c c = const 	(1)
теңдеуімен анықталады.
Егер өріс жазық V  аймағында берілген болса, онда (1)	– теңдеу
деңгей сызығын анықтайды.

1-мысал. u = xy жазық өрісінің деңгей сызықтарын табыңдар.

Шешуі.	Деңгей сызықтары	xy = c теңдеуімен анықталады және тең
қабырғалы	гиперболалармен	кескінделеді. с = 0 болғанда деңгей

сызықтары ox және oy координаталар өстерінің жиынтығы болып табылады.

x 2 + y2

2-мысал. u = arctg

–

скалярлық

өрісінің деңгей беттерін

z

табыңдар.

Шешуі. Деңгей беттері arctg

x 2 + y2

теңдеулерімен анықталады.

= с

z

Бұдан

x 2 + y2

= а2 ,

z2

мұндағы a = tgc , 

π

< c <

π

.

2

2

Біз oz түзуі

өсі болатын x 2 + y 2  a 2 z 2 = 0

– дөңгелек конустардың

д еңгей беттері болатындығын көреміз.

3-мысал. Скалярлық өрістің деңгей беттерін табыңдар:

4

u 	1	.
	2 x  3 y  4 z 1

Шешуі. Скалярлық өріс кеңістіктің

2 x  3 y  4 z  1  0 –

жазықтығында жатқан нүктелерден басқа барлық нүктелерде анықталған. Деңгей беттері 2 x  3 y  4 z  1  с теңдеулерімен анықталады. Бұлар

параллель жазықтардың үйірін сипаттайды:

2 x  3 y  4 z  с1  0 c1  1  c.

4-мысал. Төмендегі скалярлық өрістің деңгей беттерін табыңдар:

u P  = 

,

мұндағы

= ai

–

тұрақты

вектор,

ал

A,r

A

+ ck

+ bj

= xi

+ yj + zk – P нүктесінің радиус-векторы.

r

Шешуі.

Деңгей

беттері



A,r = ax + by + cz = D

D  Const 

теңдеулерімен анықталады.

Бұдан

скалярлық

өрістің деңгей

беттері

А

векторына перпендикуляр жазықтық болып табылатындығын көреміз.

uP=

+

5-мысал.

x  82 + y2 + z 2

–

скалярлық

x2 + y2 + z 2

өрісінің деңгей беттерін табыңдар.

Шешуі. uP

функциясының

P(x, y, z)

нүктесінің

N (0,0,0) және

M (8,0,0) нүктелерінен ара қашықтықтарының қосындысын кескіндейтінін

байқау қиын емес. Сонда (1) – теңдеуді былайша жазуға болады:

NP  MP  c

(c  NM  8) .

Бұл қатыс

c  NM

болғанда

MN кесіндісі

жататын

кез келген

жазықтықта, N мен M нүктелері фокустары болатын және үлкен жартылай

өсі

с

-ге тең эллипсті,

ал

c  NM

болғанда

MN кесіндісінің нүктелер

2

ж иынын анықтайды.

Сөйтіп, c  NM болғанда өрістің деңгей беті N, M фокустары бар эллипстің фокустық өсті айналуынан шыққан эллипсоид болып табылады.

Эллипсоидтың мұндай типін созылған эллипсоид деп атайды. 6-мысал. Төмендегі скалярлық өрістің анықталу аймағын және деңгей

беттерін табыңдар:

u  arcsin			x		.
		y 2	 z2

5

Шешуі. Өріс y ²  z ²  x²  0 аймағында анықталған, ал деңгей беттері:

		y 2  z 2		 x2	 0				
a 2							a		1 –

– дөңгелек конустар болып табылады.