Лекции по высшей математике / 20-22

9

Билет 20

Пусть f(z) - аналитич. В окрест. Z₀

F(z)=

Вычетом называется коэффициент С_-1 при разложении функции в ряд Лорана.

(1)C_-1=где L любой контур содержащий z₀

(1) используется для вычисления интеграла в аналитической форме

Теорема Коши: пусть область f(z) аналетическая обл. D, за исключением z₁, z₂

,...z₃, тогда:

(2) , z_kприн. D

Для вычесления вычетов применяются следующие формулы

Выч f(z)=(3)

Часные случаи:

1) m=1 Вычf(z)=(4)

2)f(z)=

Выч f(z₀ )=

Применение вычитов к вычислению интегралов по з.к.

, ,

z=

Билет 21

Пусть f(z) - аналитич. В окрест. Z₀

F(z)=

Вычетом называется коэффициент С_-1 при разложении функции в ряд Лорана

(1)C_-1=где L любой контур содержащий z₀

(1) используется для вычисления интеграла в аналитической форме

Теорема Коши: пусть область f(z) аналетическая обл. D, за исключением z₁, z₂

,...z₃, тогда:

(2) , z_kприн. D

Для вычесления вычетов применяются следующие формулы

Выч f(z)=(3)

Часные случаи:

1) m=1 Вычf(z)=(4)

2)f(z)=

Выч f(z₀ )=

Применение вычетов для вычисления определенных интегралов.

I. где P_m многочлен степени m, а Q_n ст. n.

Пусть m<=n+2

Рассмотр. f(z)= , = где I_mz_k>0

Замеч: ф-лу можно применять только тогда когда Q_n(x) не имеет действительных корней.

II. ,m<=n+1

I=, где I_mz_k>0

Тогда:

= Re(I), =I_m(I).

III. (=), где IzI=1

e^ixx=-iLnz

dx=

cosx==, sinx=.

(=)

Билет 22.

Преобразования Лапласа. Понятие оритинала и изображения.

f(t) называется оригиналом если она удволетворяет 3-м свойствам:

1)f(t)=0,t<0;

2) a,d>0

3) Существуют числа M,S₀, что [ f(t)] <= M* e ^St

Преобразования Лапласа есть интеграл от 0 до бесконечности ф-ции f(t)*e^-ptdt:

F(p)=L(f(t))=, F(p) называется изображением Лапласа функции f, L-изображением или преобразованием Лапласа.

Свойства преобразований Лапласа.

1. Линейность: L(C₁f₁(t)+ C₂f₂(t))=C₁F₁(p)+ C₂F₂(p)

2. Подобие: L(f(at))=1/a*F(p/a)

3. Дифференцирование оригинала: L(f(t))=F(p)

L(f^I(t))=pF(p)-f(0)

Следствие: L(fⁿ(t))=pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f^I(0)-f^n-1(0)

4)Дифференцирование изображения: При дифф. изобр. оригинал умножается на (-t)

L(-t*f(t))=dF/dp. Следствие: L((-1)ⁿ *t*ⁿf(t))=dⁿF/dpⁿ .

5)Интегрирование оригинала: при итегр. оригин. изображение делится на р.

L

6) Т интегрирования изображения: При инт. из. ориг. делится на t.

L(f(t)/t)=

7) Т смещения: L(e^atf(t))=F(p-a)

8) т запаздывания: L(f(t-t₀))=e^-ptF(p)