Лекции по высшей математике / 18

§ 24. Ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность комплексных чисел z₁, z₂… z_n, ..., где z_n=a_n+ib_n (n=1, 2, ...).

Определение 1. Комплексное число z₀ = а+ib называется пределом последовательности комплексных чисел z_n=a_n+ib_n, eсли

lim|z_n—z₀|=О.(1) Напишем условие (1) в развернутом виде:

z_n-z₀=(a_n-ib_n)-(a+ib)=(a_n-a)+i(b_n-b)

На основании равенства следует, что условие (1) будет выполняться только тогда, когда будут выполняться условия

lima_n=a, limb_n=b Составиm ряд из комплексных чисел w₁+w₂ …w_n где w_n=u_n+iv_n n=(1,2…). Рассмотрим сумму n членов ряда. которую обозначим через s_n:

s_n= w₁+w₂ …w_n. s_{n –} есть комплексное число. s_n=.

Определение 2. Если существует предел lims_n=s=A+iB

то ряд называется сходящимся рядом и s называется его суммой:

s==A+iB. На основании равенств из условия следуют равенства

A= lim B=

Если не существует lims_n то ряд называется расходящимся.

Для исследования сходимости ряда эффективной является следующая теорема. ' - . *

Теорема 1. Если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда, , где w_n =

Доказательство. Из сходимости ряда и условий = w_n следуют равенства (на основании соответствующей теоремы об абсолютной сходимости рядов с действительными членами), а следовательно, равенство.

Доказанная теорема позволяет применять для исследования сходимости рядов с комплексными членами все достаточные при сходимости рядов с положительными членами.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов,

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1 . Область сходимости степенного ряда с комплекс­ными членами есть круг на плоскости комплексной перемен­ной z с центром в начале координат. Его называют кругом схо­димости. В точках лежащих внутри круга сходимости, ряд сходится абсолютно.

Радиус круга сходимости R называют радиусом сходимости степенного ряда. Если R — радиус сходимости степенного ряда, то пишут, что ряд сходится в области.

Ряд Тэйлора: для ф-ции f(x) в окрестности точки х=а справедлива фор-ла Тэйлора f(x)=(x-a)/1*f’(a)+(x-a)²/2!*f’’(a)+…+(x-a)ⁿ/n!*f⁽ⁿ⁾(a)+R_n(x), R_n=(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾*(a+H(x-a)), 0<H<1. При

f(x)=(x-a)/1*f’(a)+(x-a)²/2!*f’’(a)+…+(x-a)ⁿ/n!*f⁽ⁿ⁾(a) при limR_n(x)=0

Ряд Лорана:При этом ряд является главной частью, а ряд- правильной частью.

Теорема Лорана: Если ф-ция f(z) аналитична в кольце 0<=r<(z-z₀)<R, то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана.Для ф-ции f(z) в окрестности точки z=∞:сходящийся в кольце r<(z)<+∞

Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням z f(z)=1/z(1-z).Область сходимости – кольцо 0<r<1. , для т=-2,-3. Применяя ф-лу КошиТак для 0<z<1 f(z)=1/z(1-z)=1/z+1/(1-z)