Лекции по высшей математике / 17

17. Понятие ф-ции компл. переменной. Множество точек Е расширенной комплексной плоскости (z)= называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству. Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется областью и обозначается через D,G и т.п. Область D наз-ется односвязной, если ее граница является связным множеством: в противном случае область D наз-тся многосвязной. Если каждому комплексному числу z. принадлежащему области D, поставлено в соответствие нек. комплекс. число w, то говорят, что в области D определена компл. ф-ция w=f(z). Пусть zx+iy и w=u+iv. Тогда w=f(z) может быть представлена с помощью двух действительных ф-ций u=u(x,y), v=v(x,y) действительных переменных x, y: w=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y), u(x,y)=Ref(z), v(x,y)=Imf(z). Пример:Найти действ. и мнимую части функции f(z)=iz²-. Полагая z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=i(x+iy)²-(x-iy)=i(x²-y²+2ixy)-(x-iy)=-x(1+2y)+i(x²-y²+y). Ref(z)=u(x,y)=-x(1+2y), Imf(z)=v(x,y)=x²-y²+y.

Интеграл. Пусть l – дуга направленной кусочно гладкой кривой в плоскости (z), точки z_kl, k=0,1…n, разбивают дугу l на частичные дуги, на каждой из которых выбрано по одной точке ξ_к, к=1…n. По определению полагаем, при условии. что предел в правой части существует и не зависит ни от способа разбиения дуги l, ни от выбора точек ξ. Если ф-ция f(z) непрерывна на l, то интеграл существует. Пример: Вычислить , где l – радиус вектор точки 1+i. Разбиваем радиус вектор точки 1+i на n равных частей, т.е. полагаем z_k=k/n+ik/n, z_k=1/n(1+i), k=0,1…n, ξ_k=z_k. Тогда Следовательно