Лекции по высшей математике / 19

19. Понятие ф-ции компл. переменной. Множество точек Е расширенной комплексной плоскости (z)= называется связным,

если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат данному множеству.

Связное открытое множество точек комплексной плоскости называется областью и обозначается через D,G и т.п.

Область D наз-ется односвязной, если ее граница является связным множеством: в противном случае область D

наз-тся многосвязной. Если каждому комплексному числу z. принадлежащему области D, поставлено в соответствие нек.

комплекс. число w, то говорят, что в области D определена компл. ф-ция w=f(z). Пусть z x+iy и w=u+iv.

Тогда w=f(z) может быть представлена с помощью двух действительных ф-ций u=u(x,y), v=v(x,y) действительных

переменных x, y: w=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y), u(x,y)=Ref(z), v(x,y)=Imf(z). Пример:Найти действ. и мнимую

части функции f(z)=iz2- . Полагая z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=i(x+iy)2-(x-iy)=i(x2-y2+2ixy)-(x-iy)=-x(1+2y)+i(x2-y2+y).

Ref(z)=u(x,y)=-x(1+2y), Imf(z)=v(x,y)=x2-y2+y.

Нули: ???