Лекции по высшей математике / Билет22

8

Билет 22.

Преобразования Лапласа. Понятие оритинала и изображения.

f(t) называется оригиналом если она удволетворяет 3-м свойствам:

1)f(t)=0,t<0;

2) a,d>0

3) Существуют числа M,S₀, что [ f(t)] <= M* e ^St

Преобразования Лапласа есть интеграл от 0 до бесконечности ф-ции f(t)*e^-ptdt:

F(p)=L(f(t))=, F(p) называется изображением Лапласа функции f, L-изображением или преобразованием Лапласа.

Свойства преобразований Лапласа.

1. Линейность: L(C₁f₁(t)+ C₂f₂(t))=C₁F₁(p)+ C₂F₂(p)

2. Подобие: L(f(at))=1/a*F(p/a)

3. Дифференцирование оригинала: L(f(t))=F(p)

L(f^I(t))=pF(p)-f(0)

Следствие: L(fⁿ(t))=pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f^I(0)-f^n-1(0)

4)Дифференцирование изображения: При дифф. изобр. оригинал умножается на (-t)

L(-t*f(t))=dF/dp. Следствие: L((-1)ⁿ *t*ⁿf(t))=dⁿF/dpⁿ .

5)Интегрирование оригинала: при итегр. оригин. изображение делится на р.

L

6) Т интегрирования изображения: При инт. из. ориг. делится на t.

L(f(t)/t)=

7) Т смещения: L(e^atf(t))=F(p-a)

8) т запаздывания: L(f(t-t₀))=e^-ptF(p)