Лекции по высшей математике / Билет21

9

Билет 21

Пусть f(z) - аналитич. В окрест. Z₀

F(z)=

Вычетом называется коэффициент С_-1 при разложении функции в ряд Лорана

(1)C_-1=где L любой контур содержащий z₀

(1) используется для вычисления интеграла в аналитической форме

Теорема Коши: пусть область f(z) аналетическая обл. D, за исключением z₁, z₂

,...z₃, тогда:

(2) , z_kприн. D

Для вычесления вычетов применяются следующие формулы

Выч f(z)=(3)

Часные случаи:

1) m=1 Вычf(z)=(4)

2)f(z)=

Выч f(z₀ )=

Применение вычетов для вычисления определенных интегралов.

I. где P_m многочлен степени m, а Q_n ст. n.

Пусть m<=n+2

Рассмотр. f(z)= , = где I_mz_k>0

Замеч: ф-лу можно применять только тогда когда Q_n(x) не имеет действительных корней.

II. ,m<=n+1

I=, где I_mz_k>0

Тогда:

= Re(I), =I_m(I).

III. (=), где IzI=1

e^ixx=-iLnz

dx=

cosx==, sinx=.

(=)