Лекции по высшей математике / Билеты 26,27,28

27.Интеграл Дюамеля. Применение интеграла Дюамеля к решению дифференциальных уравнений.

Определение: Пусть даны f1(t),f2(t)-оригиналы

f1(0)=f2(0)=0,тогда интеграл Дюамеля

(1)

Теорема 1: Пусть L(f1(t))=F1(t) , L(f2(t))=F2(p) ,тогда

(2)

Применяется когда изображение правой части сложно.

(3)

Составим уравнение

(4)

Перейдем к изображением из (3)

(5)

Перейдем к изображением из (4)

(6)

из (5),(6)

(7)

разделим 1-уравнение из (7) на 2-уравнение

X(P)=P*F(P)*X1(P) (8)

(9)

28.Преобразование Лапласа. Понятие оригинала и изображения. Функция

Дирака и её изображение. Изображение периодической функции.

-функция (Функция Дирака)

Определение: Рассмотрим функцию

0, t<0

,0<t<=h

0, t>0

-функция Дирака

Свойства:

0, t не =0

1) (t) =

2)

3)0AB,то

4)для любых a,b

L((t))=1 (1)

Вывод формулы (1):

L(

Изображение периодической функции.

f(t)-оригинал с T

f(t+nT)=f(t) n=0,1,2,………,

(2)

Вывод формулы (2)

26. Преобразование Лапласа. Понятие оригинала и изображения.

Свёртка функции, теорема о свёртке. Нахождение оригинала с

помощью свёртки.

Решение интегральных уравнений.

Определение: f1(t) ,f2(t)-оригиналы

f1(t)*f2(t)= (1)

(1)-свёртка функции

Свойства: f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)

Теорема: О свертке

Пусть L(f1(t))=F1(P)

L(f2(t))=F2(P)

L(f1(t)*(f2(t))=F1(P)*F2(P)

Доказательство:

= f2(t)*f1(t) Ч.Т.Д.

Решение интегральных уравнений.

(3)

Решим (3)

L(y(t))=Y(P), L(k(t))=K(P),L(f(t))=F(P)

Y(P)=Y(P)*K(P)+F(P) (4)

Y(P)= (5)

y(t)= (6)

Замечание. Если k(t)=1,то это частный случай уравнения

y(t)= (7)

Y(P)= (8)

y(t)= (9)