- •2. Некоторые методы анализа систем
- •2.1. Построение и упрощение моделей объекта (Лекция 3)
- •2.1.1. Упрощение моделей объекта
- •2.1.1.1. Замена нестационарной модели набором стационарных
- •2.1.1.2. Линеаризация модели
- •2.1.2. Пример построения модели объекта
- •2.1.2.1. Характеристика объекта
- •2.1.2.2. Разработка математической модели
- •Линеаризация
- •2.1.2.4. Линейная модель объекта
- •2.2. Временные характеристики систем управления (Лекция 4)
- •2.2.1. Линейные нестационарные системы
- •2.2.1.1. Общий вид описания системы
- •2.2.1.2. Решение однородного уравнения
- •2.2.1.3. Решение неоднородного уравнения
- •2.2.1.4. Фундаментальная матрица системы и её свойства
- •2.2.1.5. Весовая и переходная матрицы системы
- •2.2.2. Линейные стационарные системы
- •2.2.2.1. Фундаментальная матрица стационарной линейной системы
- •2.2.2.2. Весовая и переходная матрицы стационарной системы
- •2.3. Передаточная функция (Лекция 5)
- •2.3.1. Некоторые операторы
- •2.3.1.1. Дифференциальный оператор
- •2.3.1.2. Оператор Лапласа
- •2.3.2. Передаточная функция и резольвента
- •2.3.2.1. Фундаментальная матрица (резольвента)
- •2.3.2.2. Матричная передаточная функция
- •2.3.2.3.Простейший пример определения резольвенты (Пример п2.2)
- •2.3.2.4. Метод Фаддеевой (Сурье )определения резольвенты
- •2.3.2.5. Пример применения метода Фаддеевой (Пример 2.3)
- •2.4. Частотные характеристики (функции) систем (Лекция 6)
- •2.4.1. Частотная переходная функция
- •2.4.1.1. Напоминание о представлении комплексных чисел
- •2.4.1.2. Частотная передаточная функция
- •2.4.1.3. Смысл компонент матричной частотной функции (Пример2.4)
- •2.4.1.4. Виды используемых частотных характеристик
- •2.4.1.5. Пример вычисления характеристик (Пример2.5)
- •2.4.2. Логарифмические частотные характеристики
- •2.4.2.1. Смысл логарифмических частотных характеристик
- •2.4.2.2. Определение логарифмических частотных характеристик
- •2.4.2.3. Асимптотические логарифмические частотные характеристики
- •2.4.2.4. Иллюстрация построения асимптотических характеристик (Пример 2.6)
- •2.5. Структурные схемы систем (Лекция 7)
- •2.5.1. Схемы соединения звеньев
- •2.5.1.1. Представление звеньев и связей в виде структурных схем
- •2.5.1.2. Последовательное соединение звеньев
- •2.5.1.3. Параллельное соединение
- •2.5.1.4. Соединение с обратной связью
- •2.5.1.5. Пример определения матрицы возвратной разности (Пример 2.7)
- •2.5.2. Структурные преобразования линейных систем
- •2.5.2.1. Назначение и содержание структурных преобразований
- •2.5.2.2. Правила структурных преобразований линейных систем
- •2.5.2.3. Дополнительные правила для стационарных линейных систем
- •2.5.2.4. Иллюстративный пример (Пример2.8)
- •2.6. Анализ устойчивости систем управления (Лекция 8)
- •2.6.1. Определение устойчивости систем
- •2.6.1.1. Номинальное состояние и понятие устойчивости
- •2.6.1.2. Определения устойчивости решений
- •2.6.1.3. Устойчивость линейных дифференциальных систем
- •2.6.1.4. Пример смесительного бака (Пример2. 9)
- •2.6.2. Устойчивость линейных стационарных систем
- •2.6.2.1. Представление реакции системы с различными собственными числами
- •2.6.2.2. Представление реакции системы с кратными собственными числами
- •2.7.1.2. Необходимые условия
- •2.7.1.3. Достаточные условия
- •2.7.1.4. Пример применения алгоритма Раусса (Пример 2.11)
- •2.7.2. Частотные критерии
- •2.7.2.1. Нестрогое обоснование частотных критериев
- •2.7.2.2. Критерий Михайлова
- •2.7.2.3. Критерий Найквиста
2.4.1.3. Смысл компонент матричной частотной функции (Пример2.4)
Известен элемент hik(jw) частотной передаточной функции системы, который связывает i-ый выход с k-м входом системы. Известно также входное воздействие, поданное на k-й вход:
mk sin( wt + jk). Найти i-ый выход yi(t).
Решение: i-ый выход будет равен
yi(t) = |hik(jw)| mk sin( wt + jk + φik),
где |hik(jw)| - модуль частотной передаточной функции по каналу k i ,
φik =arg(hik(jω)) - аргумент частотной передаточной функции по каналу k i.
2.4.1.4. Виды используемых частотных характеристик
Так как частотная передаточная функция - комплексная характеристика, то ее можно представить в алгебраической или показательной форме. В первом случае она представляется в виде суммы мнимой и действительной части, поэтому можно получить две характеристики:
Вещественная частотная характеристика:
ВЧХ: R(w ) = Re H( jw ). (2.34)
Мнимая частотная характеристика:
МЧХ: I(w ) = Im H(jw ). (2.35)
В показательной форме имеется модуль и аргумент, которые в теории автоматического управления именуются соответственно амплитудой и фазой.
Таким образом, получаем ещё две характеристики:
Амплитудная частотная характеристика:
АЧХ: A(w) = | H(jw )|. (2.36)
Фазовая частотная характеристика:
ФЧХ: y( w) = arg H(jw ) . (2.37)
2.4.1.5. Пример вычисления характеристик (Пример2.5)
Пример 2.5. Дана система
T + x = kw,
y = x.
Определить H(jω), ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ.
Решение: Используя преобразование Лапласа, получаем
XpT + X = kW,
X(pT + 1) = kW,
X = [k / (pT + 1)]W,
Y = X = [k / (pT + 1)]W,
H(p) = Y/W= k / (pT + 1).
Заменяя p на jw, получаем:
.
Таким образом в данном случае имеем:
R(ω)= ,
I(ω)= .
A(ω)=,
y(w) = arctg I (w )/R(w ) = arctg (- wT).
2.4.2. Логарифмические частотные характеристики
2.4.2.1. Смысл логарифмических частотных характеристик
Часто используют логарифмический масштаб. Для АЧХ по оси абсцисс откладывается lg ω, а по оси ординат lg A(ω) и для ФЧХ lg ω и ψ (ω). Такие характеристики называются логарифмическими частотными характеристиками. Величина lg A(ω) характеризует усиление амплитуды колебаний данной системой. За единицу усиления принимают такое усиление, при котором мощность сигнала увеличивается в 10 раз. Эта единица называется белом. Так что если система увеличивает сигнал в 100 раз – усиление 2 бела, в 1000 раз – 3 бела и т.д.
Используются большие единицы декабелы, гектобелы и более мелкие децибелы, сантибелы и т.д. В автоматике приняты децибелы (дБ). Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды (например мощность электротока пропорциональна квадрату силы тока), то при усилении амплитуды 1 бел величина lg|H(jω)|2=2lg|H(jω)| равна единице, при усилении 2 бела величина 2lg|H(jω)| равна двум и т.д. Поэтому усиление амплитуды колебаний данной системой, выраженное в белах равно 2lg|H(jω)|, а в децибелах 20lg|H(jω)|. Поэтому при построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают непосредственно 20lgA(ω), который выражает усиление в децибелах. Изменение частоты в 2 раза называется изменением на октаву, в 10 раз – изменением на декаду.