2.7.1.3. Достаточные условия

Достаточность требует дополнительных условий. Они сформулированы Раусом и Гурвицем в виде критерия Гурвица: для устойчивости необходимо и достаточно чтобы все определители Гурвица были больше нуля.

Для систем высокого порядка вычисление определителя может требовать существенных затрат времени. Поэтому было найдено достаточно большое число алгоритмов, упрощающих проверку критерия Гурвица. Один из них - алгоритм Раусса - позволяет проверить устойчивость более просто.

Пусть а₀, а₁. ............,а_nкоэффициенты характеристического уравнения, тогда дляj

от j= 1 доn-1:

1) вычислить значение r_j=a_n-j+1/a_n-j(*)

если r_j £0, то многочлен неустойчив, иначе 2)

2) от k= 1 определить значениеa _{n-2k - j + 1}=a _{n-2k - j + 1}-r_ja _{n-2k - j} , вернуться к 1). (**)

Если все r_j , j = 1, 2, ..., n-1 больше 0, то многочлен устойчив.

2.7.1.4. Пример применения алгоритма Раусса (Пример 2.11)

Пример 2.11. Пусть характеристическое уравнение имеет вид

	0	1	2	3
	2	2	2	2
	6	6	6	6
	10	7	7	7
	9	9	5	5
	5	14/3	14/3	49/15
	1	1	1	1
	-	1/3	6/7	7/5

Многочлен устойчив.

2.7.2. Частотные критерии

2.7.2.1. Нестрогое обоснование частотных критериев

Об устойчивости характеристического уравнения можно судить по расположению корней на комплексной плоскости и по их поведению при изменении частоты. Рассмотрим положение годографа (конца вектора Н(р)) на комплексной плоскости при изменении р.

Пусть Н(р) описывает замкнутую кривую С(см. рис.2.10). Рассмотрим векторы р -a и р-g, где a - вне, а g - внутри контура С.

Рис.2.10.

Нетрудно видеть, что при обходе контура С аргумент числа р - a изменяется на 0, в то время как аргумент числа р - на 2p. Теперь, если Н(р) - передаточная функция, которая имеет внутри контура С h нулей m₁,m₂,...,mиlполюсов n₁, n₂, ..., n_l, то её можно представить в виде

При обходе аргументом р кривой С по ходу часовой стрелки аргумент числителя получит приращение 2ph, а аргумент знаменателя 2pl, следовательно аргумент дроби изменится на 2p(l - h).

Если h>l, то Н(р) обходит начало координат по часовой стрелке h - l раз, если h<l , то точка Н(р) обходит начало координат против часовой стрелки l -h раз.

2.7.2.2. Критерий Михайлова

На основании изложенных представлений А.В.Михайлов впервые вывел частотный критерий устойчивости, носящий его имя и позволяющий оценить устойчивость системы на основании поведения годографа вектора H(j) (частотной передаточной функции) системы при изменении частотыот 0 до +.

Критерий Михайлова: если при изменении параметра от 0 до +угол кручения вектораH(j) для системыn–го порядка равенn/2 против часовой стрелки, то система устойчива. Угол кручения не может быть больше, чемn/2. Если угол кручения меньше, чемn/2, то система неустойчива.

Вторая формулировка использует изменение от -до +и, соответственно, угол крученияn.

2.7.2.3. Критерий Найквиста

Мы помним, что частотная передаточная функция замкнутой системы с жесткой отрицательной обратной связью имеет вид H(j) / 1 +H(j). Следовательно, её характеристическое уравнение есть знаменатель передаточной функции замкнутой системы, которой начало координат, в отличие от передаточной функции разомкнутой системыH(j), переносится в точку (-1, 0).

На этом основании получен следующий критерий Найквиста, являющийся следствием критерия Михайлова:

замкнутая система автоматического регулирования будет устойчива, если её амплитудно-фазовая частотная характеристика в разомкнутом состоянии H(j) при измененииот 0 до¥не охватывает точку с координатами (-1 ,0) на комплексной плоскости. В противном случае система неустойчива.

Пример 2.12.Для примера на рис.2.11 изображены годографы двух систем. 1-я система устойчива, т.к. её годограф не охватывает точку с координатами (-1, 0); 2-я система не устойчива. Частота, при которой годограф пересекает единичную окружность называется частотой среза, угол_ф-запас устойчивости по фазе,Н_М– запас устойчивости по модулю. Они оговариваются в технических условиях на систему и обеспечивают её работоспособность даже при отклонениях фактических значений параметров от номинальных значений.

Рис.2.11. Годографы устойчивой и неустойчивой систем.