2.5.1.2. Последовательное соединение звеньев

Рис. 2.5. Последовательное соединение звеньев

W₁=W ^' , W₂=Y₁ , Y₂=Y , Y₁(p)=H₁(p)W₁(p), Y₂(p)=H₂(p)W₂(p),

Объединяя звенья в соответствии со связями, получим передаточную функцию соединения:

Y(p)= Y₂(p)=H₂(p)W₂(p)= Y₂(p)=H₂(p) H₁(p)W₁(p),

H(p)= H₂(p) H₁(p),

Подставляя p=jw, получаем частотную передаточную функцию и характеристики:

H(jw) = H₂(jw ) H₁(jw ) , | H(jw)| = |H₂(jw )| |H₁(jw )|,

arg H(jw) =arg H₂(jw ) + arg H₁(jw )

Векторно-матричное представление и характеристическое уравнение соединения можно получить следующим образом:

A₁(p) Y₁(p) = C₁(p) B₁(p) W₁(p), A₂(p) Y₂(p) = C₂(p) B₂(p) W₂(p), W₂(p)=Y₁(p)

*=*W₁(p),

det A = A₁(p)A₂(p),

2.5.1.3. Параллельное соединение

Рис.2.6. Параллельное соединение звеньев

Y₁(p)=H₁(p) W(p), Y₂ (p)= H₂ (p)W(p), Y₁(p)+Y₂(p)=Y(p),

Y(p)=Y₁(p)+Y₂(p)=H₁(p)W(p)+H₂(p)W(p)=[H₁(p)+H₂(p)]W(p),

H(p) = H₁(p)+H₂(p),

H(jw) = H₂(jw ) + H₁(jw ),

R(H) =R(H₁) + R(H₂),

I(H) = I(H₁) + I(H₂),

Векторно-матричная запись с использованием операторного представления может быть получена следующим образом:

A₁(р)Y₁(р) = C₁(р)B₁(р)W(р),

A₂(р)Y₂(р)= C₂(р)B₂(р)W(р),

*=*W(p)

, det A = A₁(p)A₂(p)

2.5.1.4. Соединение с обратной связью

Р

}

(*)

ис.2.7. Схема соединения с обратной связью

A₁(p)Y₁(p)= C₁(p)B₁(p) W₁(p),

A₂(p)Y₂(p) = C₂(p)B₂(p)W₂(p) ,

Y(p)=Y₁(p), W₂(p)=Y₁(p), W₁(p)=W(p)-Y₂(p); (**)

H₁(p)=A₁^-1(p)C₁(p)B₁(p) _,

H₂(p)=A₂^-1(p)C₂(p)B₂(p).

Представление системы в векторно-матричной форме возможно даже, если сигналы скалярные. Оно имеет вид:

Y=W

Характеристическое уравнение системы зависит от звена обратной связи, изменением характеристик которого можно влиять на характер поведения, устойчивость и вид переходных процессов.

det A = A₁(p)A₂(p) + C₁(p)B₁(p)C₂(p)B₂(p)

Передаточная функция получается из передаточных функций звеньев (*) с использованием связей (**).

Y(p) = Y₁(p) = H₁(p)W₁(p) = H₁(p) (W(p) - Y₂(p)) = H₁(p) (W(p) - H₂(p)W₂(p)) = H­₁(p)W(p) -H₁(p)H₂(p)Y(p);

Y(p) = [H₁(p) / (1 + H₁(p)H₂(p))]W(p), (***)

H(p) =[H₁(p) / (1 + H₁(p)H₂(p))].

Если H₂ =1, то обратная связь называется жесткой. Если W₁(p)=W(p)+Y₂(p), то обратная связь называется положительной, если W₁(p)=W(p)-Y₂(p), то отрицательной. Система с обратной связью может быть разомкнутой. В этом случае H(p)=H₁(p)H₂(p).

Если входные и выходные величины – векторы, то вместо скалярных передаточных функций будут матрицы: H₁(p) и H₂(p). В этом случае выражение для выходной величины (***) будет иметь вид:

Y(p) = [1 + H₁(p)H₂(p)]^-1H₁(p)W(p),

и передаточная функция определяется посредством перемножения и обращения матриц

H(p) =[1 + H₁(p)H₂(p)]^-1H₁(p).

Произведение матриц L(p) = H₁(p)H₂(p) называется матрицей усиления контура, а матричная функция в скобке J(p) = 1 + L(p) называется матрицей возвратной разности.

2.5.1.5. Пример определения матрицы возвратной разности (Пример 2.7)

Вернемся к примеру 2.1 со смесительным баком. Там под номером (П2.5) приведена матричная передаточная функция системы по каналу вход – выход. Пока оставим в стороне вопрос выбора вида обратной связи. Примем, что матрица обратной связи имеет вид: . Матричная передаточная функция (П2.5) имеет вид:так что матрица усиления контура в данном случае будет равна:,

а матрица возвратной разности имеет вид:

J(р) =I+.