2.2.2.2. Весовая и переходная матрицы стационарной системы
Весовая и переходная матрицы стационарной системы получаются так же, как и для нестационарной. Сопоставление (2.13) и (2.17) с учетом определений (2.14) и (2.15) позволяет получить их в виде:
(2.18)
Так как входящие в них матрицы постоянные (числовые), то они зависят только от сдвига времени (t – τ).
2.3. Передаточная функция (Лекция 5)
2.3.1. Некоторые операторы
2.3.1.1. Дифференциальный оператор
Из дисциплин математического блока известно, что существуют операторные методы описания и преобразования математических функций и уравнений. Часто для сокращения записи используется оператор дифференцирования D. Умножение на этот оператор функции равносильно (обозначает) её дифференцирование по времени:
@
,
@
,...,
@
.
Его использование позволяет записать громоздкие выражения в достаточно компактной форме. Например, линейные дифференциальные уравнения, часто используемые в теории автоматического регулирования, вида:
a
n
+
an-1
+ ... + a1
+
a0x =
bm
+
+bm-1
+ .... +b1
+b0w (2.19)
могут быть компактно записаны в виде:
a (D) x(t) = b (D) w(t), (2.20)
где a (D) @ an Dn + an-1 Dn-1 + ... + a1 D + a0,
b (D) @bm Dm + bm-1D m-1 + .... +b1D+b0.
Применение оператора D изменяет форму записи без преобразования исходных операндов записи.
2.3.1.2. Оператор Лапласа
Другое операторное преобразование, часто используемое в теории управления (и вообще, при исследовании дифференциальных уравнений) уже обеспечивает изменение пространства представления функции. Преобразование Лапласа
(2.21)
ставит в соответствие каждой однозначной функции f(t) действительного переменного t единственную функцию F(p) комплексной переменной р= σ + jω, т.е. этим преобразованием функция действительного переменного отображается на комплексную плоскость. При этом F(p) = L[f(t)] - называется изображением или образом, а f(t) – прообразом или оригиналом.
Таким образом, преобразование Лапласа позволяет перейти из временной области в область комплексного оператора р.
Ценность преобразования Лапласа в том, что при нулевых начальных условиях достаточно просто связаны между собой функция, её производная и её интеграл по времени, т.е. при f(0) = 0 имеем
L[
]
=F(p),
то L[
]
=pF(p)
и т.п.
L[Dnf(t)] = pnF(p), n³ 0.
Применение преобразования Лапласа к левой части (2.20) дает:
L[а(D)х(t)] = а(p)L[х(t)] = A(p) Х(p), (2.22)
где Х(p) – обозначено преобразование Лапласа x(t).
2.3.2. Передаточная функция и резольвента
2.3.2.1. Фундаментальная матрица (резольвента)
Рассмотрим стационарную линейную систему вида (1.11):
.
(а)
Преобразуем по Лапласу элементы этого векторно-матричного уравнения. В результате, обозначая результат преобразования функций прописными буквами, получим
pX(p) -x(0) = AX(p) + BW(p).
Далее, приведя подобные и учитывая, что X(p) и W(p) векторы, уравнение принимает вид:
(pI - A)X(p) = x(0) + BW(p).
Умножив левую и правую части на матрицу, обратную (pI - A), находим решение для образа вектора состояний X(p):
.
Матрица (pI -A)-1 = Ф(p), с помощью которой образ состояний выражается через начальные условия и входы называется фундаментальной матрицей или резольвентой системы.
В пп. 2.2.2.1. было показано, что решение уравнения состояний (а) для стационарной системы имеет вид x(t) = eA tx(0). Можно показать, что резольвента есть преобразование Лапласа матричной экспоненты, т.е. L[eA t] = (pI - A)-1.