2.3.2.2. Матричная передаточная функция

Уравнение y(t)=Cx(t) для выходных величин преобразованием Лапласа приводится к виду Y(p) = CX(p). Подставив в него X(p), получаем образ вектора выходных величин:

Y(p) = C(pI - A)^-1x(0) +C(pI - A)^-1BW(p). (2.23)

Во многих задачах теории управления важно знать соотношение между входными и выходными величинами. Оно получается из (2.23), если начальные условия принять нулевыми, т.е. x(0) = 0. В этом случае имеем

Y(p) = C(pI - A)^-1BW(p) = H(p) W(p) или

H(p) = Y(p) / W(p). (2.24)

Функция комплексного переменного H(p), равная отношению изображений по Лапласу выхода Y(p) ко входу W(p) системы называется передаточной функцией системы.

Из (2.23), (2.24) следует, что она равна:

H(p) = = C(pI - A)^-1B,

т.е. она выражается через резольвенту и матрицы В и С исходного описания. Резольвента существует для системы, в которой входные и выходные величины векторные. Если они скаляры, то получается скалярная передаточная функция.

2.3.2.3.Простейший пример определения резольвенты (Пример п2.2)

Пример П2.2. Для условий примера П2.1 - смесительный бак было найдено матрично-векторное уравнение для состояний (П1.12) и выходных величин (П1.15) в виде:

, (П2.1)

. (П2.2)

Вследствие простоты здесь резольвента может быть вычислена непосредственно по формуле Ф(p) = (pI - A)^-1. Действительно,

(pI - A) = , adj (pI - A) =,

Ф(р) = (pI - A)^-1 = .(П2.3)

Передаточная матрица определяется по резольвенте и матрицам из (П2.1) и (П2.2) в виде

.

Выполнив перемножения матриц, получим матричную передаточную функцию

H(p). (П2.4)

Если подставить численные значения, то получим

, . (П2.5)

2.3.2.4. Метод Фаддеевой (Сурье )определения резольвенты

Резольвенты для систем большой размерности можно определять следуя разработанным для этой цели алгоритмам. Один из них состоит в следующем. Пусть А - n´n матрица с постоянными параметрами, имеющая характеристический полином det(pI-A) = pⁿ + a_n-1 p^n-1 + ... + a₁p + a₀. Её резольвента Ф(p) может быть записана в виде

, (a)

где ,i=1,2…n,

Для определения R_i, i = 1,2,....,n может быть использован следующий алгоритм.

Пусть

a_n = 1 , R_n = 1,

тогда . (б)

Здесь- след матрицыМ.

R_n-k = a_n-kI + AR _n-k+1, k = 1, 2, ,...., n, (в)

при k = n должно быть R₀ = 0.

Это метод Сурье или Фаддеевой, который следует из алгоритма Леверье.

Условие R₀ = 0 может быть использовано для проверки. Существуют и другие методы. Например, следствие из теоремы Кели-Гамильтона (каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению) и др.