2.2.1.4. Фундаментальная матрица системы и её свойства

Фундаментальная матрица Ф(t,t₀) обладает свойствами:

а) Ф(t₂,t₁)Ф(t₁,t₀) = Ф(t₂,t₀), " t₀, t₁,t_2,

б) | Ф(t,t₀) | ¹ 0, " t₀, t,

в) Ф(t,t₀) =, " t₀, t,

г) = -A_‑^T(t) Ф^T(t₀,t). " t₀, t.

В (2.12а) матрица перед интегралом Ф(t, t₀) не зависит от τ и её как константу можно внести под знак интеграла и далее, используя свойства в) и а), имеем

Φ(t,t₀)Φ^-1(τ,t₀)=Φ(t,t₀)Ф(t₀,τ)=Φ(t,τ).

В результате (3.12а) приводится к виду:

, (2.12)

где первое слагаемое отражает влияние начального состояния на текущее и отображает переходной процесс, а второе – отражает влияние входных воздействий, поданных в момент t₀, на состояния в момент t.

Ф(t,t₀) - фундаментальная матрица системы. Её элементы – переходные функции φ_ij(t,t₀). Они отражают влияние x_j(t₀) – начального значения j-го состояния на x_i(t) – значение i-го состояния в текущий момент t. На ее основе получаются другие временные характеристики системы: импульсная и переходная функции системы.

2.2.1.5. Весовая и переходная матрицы системы

Выходные величины алгебраически выражаются через состояния уравнением (2.5): y(t) = C(t)x(t) , t³t_0. Подставим в него решение для состояний (2.12), получаем зависимость значений вектора выходных величин от начальных состояний и входных воздействий:

. (2.13)

В (2.13), как и в (2.12) два слагаемых. Первое отражает влияние на значение выхода в текущий момент времени t начальных значений состояний x(t₀), а второе – влияние входного воздействия w(τ) на временном интервале τ[t₀, t].

Пусть x(t₀) = 0, тогда

,

K (t,τ) = C(t) Ф (t, τ) B(τ), t ³ t₀ . (2.14)

K(t, τ) представляет собой матричную импульсную или весовую функцию. Её элементы k_nm(t,τ) характеризуют реакцию выхода y_n(t) системы на вход w_m(τ).

Важное значение имеет интегральная характеристика, показывающая интегральную накопленную реакцию выхода на ступенчатую функцию, поданную на вход в момент времени t. Она называется матричной переходной функцией системы и определяется в виде интеграла от весовой функции:

, . (2.15)

Элемент s_nm (t, τ) характеризует интегральную реакцию выхода y_n(t) на ступенчатую единичную функцию, поданную на вход m в момент времени τ: w_m(τ) = 1.

Импульсная (весовая) и переходная функции являются важнейшими временными характеристиками системы, по которым можно судить о поведении системы и ее качестве. Разумеется, что для скалярной системы они будут скалярными функциями, а для матричной (многомерной) матричными, но последнее равносильно множеству характеристик, записанных отдельно для всевозможных сочетаний входов и выходов системы.

2.2.2. Линейные стационарные системы

2.2.2.1. Фундаментальная матрица стационарной линейной системы

До сих пор в этом параграфе говорилось о линейных нестационарных системах общего вида. Если ограничиться классом только стационарных систем, то результаты упростятся.

Стационарная система (с постоянными параметрами) (1.11) имеет вместо функциональных числовые матрицы:

= Ax(t) + Bw(t),

поэтому её решение (фундаментальная матрица) представляет собой матричную экспоненту ,

и выражения (2.12), (2.13) принимают более простой вид:

, (2.16)

, (2.17)

Матричная экспонента вычисляется по обычной формуле разложения экспоненциальной функции в ряд. Только вместо степеней скалярного показателя используются степени матрицы, которые при вычислении на компьютере рекуррентной процедурой.