2.1.2.2. Разработка математической модели

В рассматриваемой задаче константами (параметрами) являются концентрации С₁, С₂и площадь бакаS. Все остальные величины:F₁(t),F₂(t),F(t),V(t), С(t) - являются переменными. Разработка модели сводится к определению математических выражений, связывающих изменение во времени всех этих величин между собой.

Изменение объема жидкости в баке определяется уравнением баланса масс:

.(П1.1)

Изменение количества растворенного вещества описывается аналогичным уравнением:

= c₁F₁(t) + c₂F₂(t) -c(t)F(t). (П1.2)

Количество переменных в этих уравнениях превышает их число, но можно заметить, что скорость истечения жидкости из бака (расход F(t)) зависит от высоты её уровня. Поэтому можем записать:

F(t) =,(П1.3)

где К- коэффициент пропорциональности, и далее, используя площадь бакаS:

. (П1.4)

Подставив (П1.4) в (П1.1) и (П1.2), получим

, (П1.5)

. (П1.6)

Полученные уравнения отражают зависимость текущего объема V(t) и концентрации смесиC(t) в баке от объемов, подаваемых по входным трубам. Нетрудно видеть, что уравнения получились нелинейными. Линейность позволила бы применить стандартные результаты решения линейных дифференциальных уравнений.

3. Линеаризация

Теперь проведём линеаризацию. Пусть номинальные (установившиеся приdV/dt=dC/dt=0) значения переменных величин равны. Подставив их в (П1.4)-(П1.6), получим алгебраические связи между переменными:

0=,(П1.7)

0=,(П1.8)

. (П1.9)

Линеаризация обычно осуществляется в окрестности номинальных значений. Исследуются отклонения от номинальных значений, предполагаемые малыми и допускающими линеаризацию без опасности возникновения значительных ошибок. В нашем примере объем раствора в баке и его концентрация характеризуют текущее состояние объекта. Поэтому в математической модели состояниями являются отклонения объема V(t)-V₀=V(t)=ξ₁(t) и концентрации

C(t)-C₀=C(t)=ξ₂(t) от установившихся значений. Аналогично, отклонения управлений обозначим μ₁(t) и μ₂(t). В результате можно записать для состояний:и управлений:.

Для того, чтобы линеаризовать, разложим все величины в уравнениях (П1.5), (П1.6) в ряд Тейлора с удержанием линейных частей разложения. Кроме произведения в (П1.6), все переменные входят в уравнения (П1.5), (П1.6) в первой степени и при линеаризации сохраняют структуру. Длялинейная часть разложения получается, следуя(3.2), в виде:

, (П1.10) . (П1.11)

2.1.2.4. Линейная модель объекта

Заменив в соответствии с (П1.9) на, а затем, подставив (П1.10) в (П1.11) и обозначив(время заполнения бака), получим два линейных дифференциальных уравнения, которые в векторно-матричной форме имеют вид:

, (П1.12)

где X(t)- вектор состоянийX(t)=;

U(t)– вектор управленийU(t) =μ() = (μ₁(t), μ₂(t))^T.

Выходы объекта – отклонения расхода и концентрации раствора:

, (П1.13)

, (П1.14)

Уравнение для выходов в матричной форме:

. (П1.15)

Пусть установившиеся значения численно равны ,,,,

.

Подставив эти значения, получим:

, (П1.16)

. (П1.17)

Данная система стационарная, следовательно, её фундаментальная матрица имеет вид и вычисляется следующим образом: т.к.

, то получаем , (П1.18)

, (П1.19)

. (П1.20)