2.6.2.2. Представление реакции системы с кратными собственными числами

Если корни кратные , то в (2.58) вместо l_iбудет стоять жорданова норм форма матрицы А, где на месте кратного корня l_iкратности m_i будет стоять блок размера m_i´m_i, а реакция системы кроме членов exp(l_it) будет включать в (2.62) и члены вида

t exp (l_it), t² exp (l_it), t³ exp (l_it), ....., t^m-1 exp (l_it).

Из (2.62) видно, что реакция системы (решение системы) есть сумма экспонент и следовательно система будет устойчива при любых m_i, если все l_i<0.

2.6.2.3. Условие устойчивости линейных стационарных систем

Изложенные вкратце сведения о представлении решения линейных стационарных систем могут быть сформулированы в виде

Теоремы 3. Система с постоянным параметрами (2.55) является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части.

2.6.2.4. Пример приведения системы к диагональному виду (Пример 2.10)

Пример 2.10. Приведём к диагональной форме систему:

2.7. Критерии устойчивости (Лекция 9)

2.7.1. Алгебраические критерии устойчивости

2.7.1.1. Назначение критериев

В предыдущем пункте было показано, что для устойчивости линейных стационарных систем необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были строго отрицательными. В этом случае экспоненты, суперпозицией которых представляется решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, будут иметь показатели степени вида t, где0 – действительные корни или действительные части комплексно сопряженных корней. Ясно, что приtвсе слагаемые, образующие решение будут стремиться к нулю и система будет устойчивой.

Но для определения корней систему необходимо решить. Компьютеры появились около 50 лет назад. До этого решать приходилось «вручную». Для решения дифференциального уравнения 5-6 порядка требовалось примерно полгода работы квалифицированного математика. В связи с этим усилия специалистов в области ТАУ были направлены на поиски путей косвенного, без необходимости решения, выяснения вопроса об устойчивости систем. В результате таких исследований были разработаны критерии устойчивости, которые позволяют выяснить вопрос об устойчивости по коэффициентам характеристического уравнения или по поведению его годографа при изменении частоты.

2.7.1.2. Необходимые условия

Алгебраические критерии разработаны на основе зависимости значений корней характеристического уравнения системы от его коэффициентов (параметров). Вследствие того, что для устойчивости необходимо, чтобы комплексные действительные части корней были строго отрицательными, были выяснены необходимые и достаточные требования к коэффициентам характеристического уравнения, обеспечивающие это требование.

Рассмотрим уравнение 1-го порядка:

а0р + а1 = 0.

Пусть а0 >0, корень уравнения равен l = -a1/ a0 и при a1>0 имеем l<0.

Самостоятельно рекомендуется проверить, что положительность всех коэффициентов гарантирует отрицательность двух действительных корней или действительной части комплексно-сопряженных корней уравнения второй степени.

В общем случае характеристическое уравнение n-ой степени может быть представлено в виде произведения простых множителей a0 (p -l1 )(p - l2 ) ... (p -ln ) = 0. Нетрудно видеть, что раскрыв его при условии положительного действительного корня li >0или положительной действительной части пары комплексно-сопряженных корней li,i+1=a+jb и a>0, будет получен хотя бы один отрицательный коэффициент.

На основании этого формулируется необходимое условие устойчивости: для устойчивости системы (отрицательности действительных частей всех корней) необходимо, чтобы все коэффициенты уравнения были положительными.