2. Некоторые методы анализа систем

2.1. Построение и упрощение моделей объекта (Лекция 3)

2.1.1. Упрощение моделей объекта

2.1.1.1. Замена нестационарной модели набором стационарных

Возможные методы анализа объекта и, особенно, синтеза управления зависят от сложности его модели. Поэтому желательно модель привести к наиболее простому виду. Поэтому исходную модель, полученную из физических законов и отражающую реальные процессы в объекте во время его жизнедеятельности, целесообразно упростить, если это не противоречит целям решения.

Мы отмечали, что наиболее общей непрерывной моделью является (1.5.) Наметим возможный путь перехода от нее к самой простой из перечисленных нами непрерывных детерминированных моделей (1.11). Мы можем следовать той же последовательности, которая была намечена выше.

Допустим, что нам известны временные рамки, в которых эволюционирует объект. Пусть t₀- начальный, а t - конечный момент времени интервала, представляющего интерес. Из анализа поведения во времени параметров модели (1.5) следует определить такие необязательно одинаковые полуинтервалы, открытые, например, справа

dt_i = t_i - t_i-1 i=1,2,..., t_i-1 £ t < t_i,

Можно допустить, что внутри этих интервалов с достаточной для решаемой задачи точностью параметры объекта изменяются несущественно и этими изменениями можно пренебречь, вследствие чего можно принять параметры объекта постоянными, равными их значениям при t_i-1. Тогда можно вычислить значения функций f = (f₁, f₂, ..., f_­с) при t_i, i = 0,1,2,....,ι-1 и записать вместо одной нестационарной модели (1.5) последовательность стационарных моделей вида

, ,i= 0, 1, 2, ....,с-1. (2.1)

Модель будет использоваться для всех значений tÎ[t_i, t_i+1).

2.1.1.2. Линеаризация модели

Следующий, часто применяемый прием состоит в линеаризации нелинейной модели. Используются различные способы линеаризации. Рассмотрим один наиболее часто употребляемый и простой. Он базируется на использовании известного разложения функций в ряд Тейлора. Обычно заранее можно оценить в каком диапазоне будут изменяться входные величины, состояния и выходы объекта. Если диапазон широк, то его можно разбить на несколько более узких так, чтобы сохранить требуемую точность. Независимо от количества интервалов техника сохраняется и состоит в следующем. Возьмем некоторую точку, называемую рабочей, внутри интервала. Обозначим ее индексом 0, т.е. x₀,w₀. Т.к. (2.1) известно, то можно вычислить и .

Разложим (2.1) в ряд Тейлора в точке . Получим

(2.2)

где s=1,2…,c – это номер интервала стационарности (2.1) модели, x, -n-мерные векторы; j=1,2,…,n – номер в векторе,k=1,2,…,n – номер в вектореx, l=1,2,…,L – номер компонента в вектореw.

.

Теперь если , (это матрицы частных производных, которые представляют собой якобианы), тогда каждому интервалу времени будут соответствовать свои .

Обозначим ,.

Учитывая новые обозначения, перепишем (2.2) и получим линейный аналог или линейное приближение (2.1): .(2.3)

Видно, что (2.3) соответствует (1.11).

2.1.2. Пример построения модели объекта

2.1.2.1. Характеристика объекта

Построение модели проиллюстрируем на примере смесительного бака (Пример 2.1).

Смесительный бак предназначен для приготовления и автоматического поддержания заданной концентрации раствора из двух жидкостей (рис.2.1). Смешиваемые растворы с концентрациями иподаются в бак по двум трубопроводам. Скорость подачи растворов регулируется при помощи двух задвижек с электрическим приводом, обозначенных на рисунке пятиугольниками. Смесь, имеющая концентрацию, выходит из бака по специальной трубе. Площадь основания бакаSизвестна, высота столба смеси в бакеизмеряется. Требуется построить математическую модель данного объекта и найти его характеристики.

На рис.2.1 используются следующие обозначения:

F₁(t),F₂(t) - регулируемые расходы подаваемых в бак жидкостей, их изменением достигается управление концентрацией жидкости в баке; С₁, С₂– концентрации, величины постоянные (константы);V(t), С(t) – объем и концентрация раствора в баке,F(t) расход смеси в выходной трубе.

Рис. 2.1. Смесительный бак