Примеры.

1. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, извлекаются по одному без возвращения 2 шара. Найти вероятность того, что шар вытащенный вторым, окажется белым, если известно, что первый вытащенный шар оказался черным.

Если первый вытащенный шар был белым, то то в урне остается 7 шаров, из которых 5 белых и 2 черных. Следовательно, вероятность того, что второй вытащенный шар будет белым, если первым был вытащен черный шар, равна 5/7.

2. Брошены две игральные кости. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делиться на 5.

Обозначим через А событие: выпали две пятерки, а через В событие: сумма выпавших очков делится на пять. Выпишем все возможные элементарные исходы при бросании игральных костей: (1,1),…,(1,6),…,(6,1),…,(6,6), всего 36 элементарных исходов, из них благоприятны событию В исходы: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5),(6.4),(4,6) - всего 7 элементарных исходов, из этих исходов благоприятен А исход (5,5). По этому искомая вероятность = .

3. Из ста карточек с числами 00,01,…,98,99 случайно выбирается одна. Найти вероятность того, что сумма цифр выбранного числа равна 2 при условии, что их произведение равно 0. Пусть k и l соответственно сумма и произведение цифр на этой карточке.

Обозначим через В - событие: l=0, из 100 возможных способов выбора карточки этому событию благоприятны те, при которых номер карточки содержит хотя бы один нуль. Эти исходы (00),…,(09),(10),(20),…,(90)- всего 19. Из этих исходов событию А благоприятны два (02) и (20). Поэтому искомая вероятность равна 2/19.

Формула полной вероятности

Пусть В₁, В₂,…,В_n – несовместные события, образующие полную группу, т.е. В₁+ … + В_n= Ω и пусть А - какое-либо событие. Тогда

Р(А)= Р(В_i)Р(А/В_i) (9)

– формула полной вероятности.

Доказательство

Любое событие А является частью достоверного события Ω, т.к. получается суммированием какого-то числа элементарных событий, составляющих Ω , то АΩ = А (см.рис.4):

Рис.4

Учитывая далее, что Ω=В_i, и результат примера 4 §4, имеем:

Р(А)=Р(АΩ)=Р(АВ)= Р(АВ_i).

Откуда, записывая Р(АВ_i) по формуле (7)

Р(АВ_i)=Р(А/В_i)Р(В_i)

и получим формулу полной вероятности (9).

Примеры:

1. На проверку поступают изделия. Каждое из них стандартно с вероятностью 0,9 и нестандартно с вероятностью 0,1. При контроле стандартное изделие принимается с вероятностью 0,95 и отбраковываются с вероятностью 0,05. Нестандартное изделие бракуется с вероятностью 0,9 и принимается с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что поступившее на проверку изделие не будет забраковано.

Обозначим через А событие: поступившее на проверку изделие не будет забраковано, а через В₁(В₂) событие: поступившее на проверку изделие стандартно (нестандартно). События В₁, В₂ несовместны и образуют полную группу событий. По формуле полной вероятности имеем

Р(А)=Р(А/В_I)Р(В_I)+Р(А/В₂)Р(В₂)=0,950,9+0,10,1=0,065.

2. Имеются 2 урны. В первой находятся 3 белых шара и 2 черных, во второй 4 белых и 1 черный. Из урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в одну урну, после чего из этой урны не глядя вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

Обозначим через А событие: шар, вытащенный из последней урны, белый. Через В₁ обозначим событие: шары, вытащенные из первой и второй урн, белые; Через В₂ обозначим событие: шар вытащенный из первой урны – белый, а шар вытащенный из второй урны - черный. Через В₃ обозначим событие: шар, вытащенный из первой урны – черный, а из второй урны – белый и наконец через В₄ обозначим событие: оба первоначально вытащенных шара оказались черными.

Явно, что события В_1, В_2, В_3, В₄ – несовместны и образуют полную группу событий. Поэтому по формуле полной вероятности

Р(А)= Р(А/В₁) ×Р(В_I)+ Р(А/В₂) ×Р(В₂)+ Р(А/В₃) ×Р(В₃)+ Р(А/В₄) ×Р(В₄).

Для Р(В_I), Р(В₂), Р(В₃), Р(В₄) имеем соответственно

Р(В_I)=; Р(В₂)=; Р(В₃)=; Р(В₄)=.

Вероятности Р(А/В₁) , Р(А/В₂) , Р(А/В₃) и Р(А/В₄) соответственно равны

Потому Р(А)= +++==.

Формула Бейеса

Пусть снова В₁,…В_n- некоторые события, образующие полную группу событий.

Предположим, что нам стало известно, что произошло некоторое событие А. Как изменятся вероятности событий В₁, …В_n при условии, что произошло событие А?

По формуле для вероятности произведения событий имеем

Р(В_i/А)= (1n) (10)

Замечая, что Р(АВ_i)= Р(В_i) Р(А/В_i) и записывая знаменатель по формуле полной вероятности, получим

Р(В_i/А)= (1n). (11)

Полученная формула называется формулой Бейеса, она имеет многочисленные практические применения. Вероятности Р(В_i), входящие в эту формулу, называют априорными вероятностями, а вероятности Р(В_i/А) - апостериорными вероятностями. События В₁,…,В_n называют гипотезами.