176

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

I. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема Коши.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка на-

зывается уравнение вида

Пусть a₀(x)0 в интервале () . Тогда

Очевидно

Поэтому для линейного уравнения теорема Коши формулируется так.

_Теорема.. Пусть функции a_i (x) и f(x) непрерывны на () , a₀(x)0 .

Тогда x₀() существует решение такое, что

Если в уравнении (1) , то такое уравнение назы-

вается однородным. Оно имеет вид

Если , то уравнение (1) называется неоднородным.

Для простоты выкладок все дальнейшие рассуждения и построения

будем проводить лишь для линейного уравнения второго порядка, то

есть для уравнения вида:

I. Характеристическое уравнение.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с пос-

тоянными коэффициентами

(1)

Здесь , поэтому уравнение (1) перепишем в виде

(2)

Решение (2) будем искать в виде , тогда получим

(3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением дифференци-

ального уравнения (2).

II. Различные случаи корней характеристического уравнения.

1. Корни k₁ и k₂ уравнения (3) действительны и различны. Тог-

да уравнение имеет два решения:

Эти решения линейно независимы, так как

Поэтому общее решение уравнения имеет вид

где C₁ и C₂ - пороизвольные постоянные.

2. Корни характеристического уравнения (3) действительные и

равные: k₁=k₂ . Покажем, что в этом случае

- два решения уравнения (2), образующие фундаментальную систему.

Покажем, что - решение. Имеем

поскольку k₂ - решение уравнения (3) и по теореме Виетта имеем: p=-2k² .

Кроме того

Итак, решения y₁ и y₂ образуют фундаментальную систему и общее ре-

шение в этом случае имеет вид

3. Корни уравнения (3) комплексно-сопряженные

Тогда, согласно определению показательной функции комплексного аргу-

мента, имеем

y₁ и y₂ - решения уравнения (2).

Рассмотрим новые функции и , определенные равенством

По теореме предыдущей лекции и - решение уравнения (2). Кроме

того,

-

- линейно независимы. Поэтому, общее решение уравнения (2) име-

ет вид

III. Уравнения со специальными правыми частями.

В общем случае частное решение неоднородного уравнения

отыскивается методом вариации произвольных постоянных. Однако, можно

указать некоторые важные для приложения частные случаи, когда част-

ное решение ищется в некотором специальном виде

1. ,

Тогда

а) если  не является корнем характеристического уравнения

(3), то частное решение ищется в виде

где Q_n(x) - многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами

б) если  - корень характеристического уравнения кратности r,

то

r=1,2.

2.

Тогда

а) если i не является корнем характеристического уравнения,

то ищем в виде

где Q_N(x) и G_N(x) - многочлены степени N=max{n,m}.

б) если  i является корнем характеристического уравнения, то

_Пример.. Найти частное решение уравнения

Запишем характеристическое уравнение

Поэтому

Здесь =1 , n=0 . Поскольку  является корнем характеристи-

ческого уравнения кратности 1,то частное решение неоднородного урав-

нения ищем в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Таким образом,

- общее решение неоднородного уравнения.

Подберем C₁ и C₂ так, чтобы выполнялись начальные условия:

Искомое частное решение имеет вид