194

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

I. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(5)

где a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n - постоянные числа, называ-

емые коэффициентами ряда.

 _Теорема Абеля :

1) если степенной ряд сходится при некотором значении x₀ ,

не равном нулю, то он абсолютно сходится при всех x , удо-

влетворяющих условию ;

2) если степенной ряд расходится при некотором значении ,

то он расходится при всяком x , для которого .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости

степенного ряда. Если x₀ - точка сходимости ряда, то весь интер-

вал заполнен точками абсолютной сходимости.

Если - точка расходимости, то две бесконечные полупрямые

и состоят из точек рас-

ходимости. Из этого можно заключить, что степенные ряды сходятся в

интервале с центром в начале координат .

Для всех ряд абсолютно сходится, а для всех

x , лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R

называют радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала (при x = -R и при x = R ) вопрос

о сходимости и расходимости данного ряда решается индивидуально для

каждого конкретного ряда. У некоторых рядов интервал сходимости вы-

ражается в точку (R = 0) , у других охватывает всю ось

Способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда

(5):

Для определения сходимости ряда с положительными членами воспользу-

емся признаком Даламбера:

откуда

Тогда радиус сходимости легко определить по формуле

(6)

Если воспользоваться признаком Коши, то (7)

Степенной ряд мажорируем на любом отрезке , цели-

ком лежащем внутри интервала сходимости. Поэтому на любом отрезке,

лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть неп-

рерывная функция. В силу этих свойств степенные ряды можно почленно

интегрировать (если пределы интегрирования заключены внутри интерва-

ла сходимости) и дифференцировать (не меняя интервала сходимости).

К степенным рядам относят и ряды вида

(8)

расположенные по степеням двучлена .

Интервалом сходимости ряда (8) будет интервал с

центром в точке a . Радиус сходимости ряда (8) определяется по

ф ормулам (6) и (7).

II. Ряды Тейлора и Маклорена.

Задача разложения функции в степенной ряд состоит в

возможности представления этой функции в виде суммы некоторого сте-

пенного ряда. При этом удается заменить функцию многочленом, что

значительно упрощает решение дифференциальных уравнений, вычисление

интегралов а также может использоваться при приближенных вычислениях.

Предположим, что функция бесконечное число раз диф-

ференцируема в окрестности некоторой точки a .

Допустим, что ее можно представить в виде суммы обобщенного

степенного ряда, сходящегося в некотором интервале, содержащем точку

a :

где a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n - неопределенные коэффициенты

Найдем коэффициенты a₀ , a₁ , a₂ ,...

Положим в равенстве (1) , тогда

Продифференцируем ряд (1)

и вновь положим , тогда

Проводя дальнейшее дифференцирование и полагая , по-

лучим следующие равенства

; ;

Таким образом находятся все коэффициенты разложения (1):

(2)

Подставляя найденные коэффициенты (2) в равенство (1) получим

разложение функции в ряд, который называется рядом Тейло-

ра для функции :

(3)

Коэффициенты (2) называются коэффициентами Тейлора функции в

точке a .

Ряд (3), записанный в окрестности нуля, когда назы-

вают рядом Маклорена:

III. Разложение по степеням x функций e^x , ,,(1+ x)ⁿ ,,.

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки a рас-

падается на два этапа:

1) вычисляют значения функции и ее производных в точ-

ке a и находят коэффициенты ряда Тейлора (2)

2) определяют интервал, в котором составленный ряд Тейлора схо-

дится к функции .

Найдем разложение в ряд Маклорена следующих элементарных функ-

ций:

1) показательная функция e^x .

В точке функция и все ее производные равны 1.

Ряд Маклорена для показательной функции:

(7)

Рассмотрим интервал , где N - любое фикси-

рованное число. Для любого X из этого интервала

Следовательно, все производные в этом интервале ограничены и

Таким образом, ряд (7) сходится к функции

e^x на всей числовой оси .

2) тригонометрические функции и .

Пусть

и т.д.

Любая производная от не превосходит по абсолютной вели-

чине 1, поэтому ряд Маклорена для функции схо-

дится к ней на всей числовой оси:

(8)

Аналогично можно получить разложение , справедливое

на всей числовой оси:

(9)

3) биномиальный ряд - разложение в ряд Маклорена функции

, где m - любое действительное число.

,

,

,

………………………………………………….

Тогда

(10)

Найдем область сходимости ряда (10), пользуясь признаком Даламбера

для функциональных рядов:

Таким образом, ряд (10) сходится на интервале к функ-

ции .

4) функция

Запишем ряд Маклорена для функции , пользуясь

равенством (10) и принимая .

(*)

и воспользуемся возможностью интегрирования степенных рядов в облас-

ти их сходимости:

Тогда интегрируя ряд (*), получим разложение в ряд функции

справедливое на интервале :

(11)

5) функция

Запишем ряд для функции , заменяя в равенстве (*)

x на x² :

.и проинтегрируем последнее соотношение:

(12)

Соотношение (12) представляет собой разложение в ряд Маклорена

для функции , сходящееся к ней на интервале

Степенные ряды (7)-(12) можно использовать при разложении в ряд

многих других функций. Например, разложения для гиперболических

функций могут быть получены комбинацией рядов для e^x и e^-x :

V. Приложения рядов Тейлора.

Разложения функций в степенные ряды используется при приближен-

ных вычислениях значений функции, при интегрировании функций и реше-

нии дифференциальных уравнений.

1) Пусть нам известны значения функции и ее производных в неко-

торой точке a , и функция в окрестности точки a может разложена в

ряд Тейлора. Тогда точное значение функции в рассматриваемой окрестности можно вычислить по ряду Тейлора, а приближенно ее значение - по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку оценивают по остаточному члену ряда или непосредственно по остатку ряда. Если получающийся числовой ряд знакочередующийся, то в соответствии с теоремой Лейбница остаток ряда не превосходит величины первого из отбрасываемых членов.

При вычислениях и положительных чисел погрешность

оценивают по величине первого из отброшенных членов. Так

Если требуемая точность вычисления , то пер-

вой формулой можно пользоваться в интервале от 0 до ;

второй - от до ; третьей - от до .

2) интегрирование функций с помощью рядов.

Допустим, что нужно найти интеграл

причем известно разложение функции в ряд Тейлора, а пре-

делы интегрирования лежат внутри интервала сходимости ряда. Тогда мы

имеем право интегрировать ряд почленно. В результате получится ряд

для функции , сходящейся в том же интервале, что и подынтег-

ральная функция.

Если при этом интеграл выражается через элементарную функцию,

то мы сможем получить для нее разложение в ряд Тейлора, как в случа-

ях для и . Если же интеграл не выражается

в элементарных функциях, то найденный ряд служит выражением неэле-

ментарной функции через бесконечную сумму степенных функций, напри-

мер:

Этот ряд не сходится ни к одной элементарной функции, а служит

выражением новой функции, определенной на всей числовой оси.