243

Непрерывные случайные величины

Дифференциальная функция распределения

Под непрерывной случайной величиной понимается такая случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

В качестве примеров непрерывной случайной величины можно привести:

1) время опоздания студентов на лекцию (интервал возможных значений здесь от 0 до 80 минут);

2) ошибка во взвешивании товара (интервал возможных значений - минимальное значение шкалы весов);

3) диаметр обработанной на токарном станке детали (интервал возможных значений зависит от точности измерений, т.е. от используемого измерительного прибора).

Очевидно, что закон распределения непрерывной случайной величины невозможно задать в виде таблицы с указанием её возможных значений (в силу их бесконечного, несчетного числа). Поэтому непрерывные случайные величины обычно задаются при помощи интегральной или дифференциальной функций распределения их вероятностей. Интегральная функция распределения была описана выше, она сохраняет своё определение и все свойства и для непрерывной случайной величины.

Рассмотрим следующий пример.

Пример ². Непрерывная случайная величина Х задана на интервале () интегральной функций распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значения из интервала . Дать графическую интерпретацию этого события.

Поскольку заданный интервал целиком находится внутри интервала , то искомая вероятность равна

.

Начертим график F(х) (рис.6)

Рис.6

Искомая вероятность численно равна длине отрезка (АВ) =.

Интегральная функция распределения F (х) непрерывной случайной величины Х не является её исчерпывающей вероятностной характеристикой. Она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется дифференциальной функцией распределения (часто в литературе встречается другое её название: плотность вероятностей).

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с интегральной функцией распределения F(х). Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в интервал (х, х+ ∆х). Согласно формуле (2), имеем

P(х < Х < х+ ∆х) = F(х + ∆х) - F (х).

Составим отношение этой вероятности к длине интервала ∆х

.

Считая функцию F (х) дифференцируемой, перейдем в последнем равенстве к пределу при ∆х ® 0

.

Такой предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал от х до х+∆х к длине этого интервала ∆х, когда ∆х стремится к нулю, называется дифференциальной функцией распределения вероятностей (или плотностью распределения) случайной величины в точке х и обозначается f (х). Из формулы (15) видно, что

f (х) = F' (х).

Смысл плотности распределения f(х) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f(х) случайной величины, называется кривой распределения.

Пример 2. Пусть непрерывная случайная величина Х задана на всей числовой прямой интегральной функцией распределения

Найти плотность распределения f(х) этой случайной величины и построить её график.

По определению. Функция F(х) имеет различный вид в зависимости от интервала. Так, в интервале (-∞, 0] функция F(х)=0, а следовательно, в этом интервале f(х) = (0)' = 0. Аналогично в интервале (0;2] f(х)= = (х)' , а в интервале (2; +∞) f(х) = (1)' = 0. Объединив все полученные результаты, получим

Соответственно график (кривая распределения) f(х) в каждом из интервалов будет иметь свой вид (рис.7)

Рис.7

Следует отметить, что не все случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, являются непрерывными случайными величинами (бывает, что для таких случайных величин интегральная функция распределения F(х) не везде непрерывна, а в отдельных точках терпит разрыв). Поэтому необходимо дать более строгое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина Х называется непрерывной, если её интегральная функция распределения F(х) непрерывна на всей числовой оси 0х, а плотность распределения f(х) существует везде, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Рассмотрим свойства функции плотности распределения вероятностей.

Свойство ². Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(х)≥0. Это свойство непосредственно вытекает из того, что f(х) есть производная от неубывающей функции распределения F(х).

Свойство 2. Интегральная функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности вероятности в интервале от - ∞ до х, т.е.

Действительно, по определению дифференциала функции

dF(х)= F¢(х)dх= f(х)dх,

но F (- ∞)=0 (по свойству 2 функции F(х)), поэтому

.

Согласно графической интерпретации определенного интеграла, интегральная функция распределения F(х) на графике плотности распределения f(х) изображается заштрихованной площадью (рис.8).

Рис. 8.

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал равна определенному интегралу

.

Действительно, поскольку из свойства 3 функции F(х)

P(α <Х< β)= F(β) – F(α),

а согласно свойству 2 плотности вероятности f(х)

, ,

то подставляя последнее равенство в предыдущее, получим

и поскольку из свойств определенного интеграла

и

,

имеем окончательно

<X<.

Графически вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал есть площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис.9:

Рис. 9

Свойство 4. Интеграл по всей числовой оси от плотности вероятности равен единице, т.е.

.

В самом деле, так как .

Пример 4. Непрерывная случайная величина Х задана на всей числовой оси плотностью распределения вероятностей, определенной формулой

Найти величину параметра С и определить вероятность попадания случайной величины в интервал ( -1; ), построить кривую распределения и отметить найденные решения на графике f(х).

Решение. По свойству плотности вероятностей

.

Вычислим этот интеграл

Следовательно , откуда .

Теперь можно определить вероятность попадания в интервал (-1;)

Отметим найденные решения на графике функции f(х) (рис.10):

Рис. 10.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Числовыми характеристиками непрерывной случайной величины являются уже известные по дискретной случайной величине математическое ожидание М(X), дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение (X).

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле

М(х)=

Дисперсия непрерывной случайной величины Х характеризует рассеяние случайной величины вокруг её математического ожидания и определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания М(X)

Поскольку все свойства числовых характеристик непрерывной случайной величины совпадают со свойствами соответствующих числовых характеристик дискретной случайной величины, то получим формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется формулой

.

Пример 5. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения

0, если х<0.

f(х)= х, если 0 < х≤ 1

0, если х>1.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х

Решение. Математическое ожидание

.

Найдем дисперсию

и среднее квадратическое отклонение

.

Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины