8

Вероятностное пространство

Алгебра событий

До сих пор предполагалось, что число элементарных событий, образующих группу, конечно. Но это условие далеко не всегда выполняется. Например, если в примере б) §1 нас интересует количество (в процентах) заложенного в овощехранилище нестандарт­ного картофеля, то элементарными исходами е_х здесь будет количество нестандартного картофеля х%, где х - любое действительное число, удовлетворяющее условию 0≤х≤100. Тогда, например, событие А - в хранилище заложено не менее 10% нестандартного картофеля, будет являться объединением (суммой) всех е_х при 10≤x≤100, т.е. В дальнейшем будем рассматривать только те события, которые получаются суммированием (вообще говоря, бесконечным) элементарных исходов.

Если элементарные исходы изображать точками на плоскости, то любое событие может быть изображено некоторым множеством точек на плоскости. При этом легко изображаются объединение, произведение, разнос­ть соответствующих множеств. Такая геометрическая интерпретация событий делает очень наглядными различные соотношения между ними.

Примеры:

1. События и могут быть представлены следующим образом

Рис.1

2. Объединение (сумма) и пересечение (произведение) двух совместных событий имеет вид:

Рис.2

3. Пусть А и В некоторые совместные события (т.e. пересечение соответствующих множеств не обязательно пусто). Тогда события А и В-А несовместны (напомним, что событие В-А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В, но не происходит событие А) и из рис.3 видно, что AUB = А+(В-А) и В = (В-А)+-А·В, причем события В-А и А·В также несовместны

Рис.3

4 Пусть B_i…,B_n-несовместные события (т.е. соответствующие множества не пересекаются) и А некоторое событие. Тогда событии, А·В_i ...,A·В_n также несовместны

Аксиоматическое определение вероятности

Если число элементарных событий, образующих полную группу, бесконечно, то определить вероятность события по формуле (1) §2 уже нельзя (за исключением тривиального случая, когда событие А получено объединением конечного числа элементарных событий), даже если принять гипотезу о равновозможности всех элементарных событий. Действительно, в этом случае в знаменателе и в числителе формулы (1) будут стоять , т.к. событие А состоит из бесконечного числа элементарных событий.

Таким образом, в общем, случаи (когда число элементарных событий не обязательно конечно, а сами элементарные события не обязательно равно возможно) понятие вероятности необходимо определять иначе. В этом случае понятие вероятности вводится аксиоматически.

Пусть имеется некоторая совокупность элементарных событий, образующих полную группу. Будем рассматривать все события, образованных объединением (суммированием) элементарных событий из этой группы.

Числовая функция Р, определенная на классе событий S, называется вероятностью, если выполнены аксиомы:

А1) S есть алгебра событий;

А2) (аксиома неотрицательности);

А3) (аксиома нормированности);

А4) если событие А и В несовместны, то Р(А+В) = Р (А) + Р(В) (аксиома конечной аддитивности);

А5) для любой убывающей последовательности событий , т.е. , такой, что имеет место равенство (аксиома непрерывности).

Аксиоматическое определение вероятности впервые предложено академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1933 г.

Свойства вероятности

Из аксиоматического определения вероятности следуют ее свойства:

1. Р(Ø)=0 т.е. вероятность наступления невозможного события равна нулю.

2. Дня любого А Р()=1 - Р(А).

3. Для любого A 0≤P(A)≤1.

4. Если , то Р(А)≤Р(В).

Теорема сложения вероятностей:

P(А+B)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (6)

Доказательство:

В примере 3 §5 показано, что A+B=A+(B-A), где А и В-А - несовместные события, т.е. соответствующие множества не пересекаются. Тогда из определения вероятности суммы несовместных событий имеем:

P (А+В)=Р (А)+Р (В-А) . (*)

В том же примере 3 показано, что В=(В-А)+АВ, где В-А и АВ события также несовместные.

Поэтому

Р (В)=Р(В-А)+Р(АВ).

Откуда

Р (В-А)=Р (В)-Р (АВ) , (**)

Подставляя выражение для Р (В-А) из (**) в (*) и получим формулу (6).

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть вначале число элементарных событий, образующих полную группу, конечно и все элементарно исходы равновозможны.

Пусть имеются некоторые события А и В. Обозначим число элементарных исходов, благоприятных событию А через m : число элементарных исходов, благоприятных событию В, через k , и через ℓ обозначим число элементарных исходов, благоприятных произведению А·В. Общее число элементарных событий, образующих полную группу, обозначим через n.

Предположим, что нам стало известно, что в результате эксперимента произошло событие А. Тогда общее число элементарных исходов сокращается до m, т.к. из общего числа n элементарных исходов необходимо исключить те которые не приводят к появлению события А. Из этих оставшихся элементарных исходов только ℓ будут благоприятными В, т.к. если известно, что собы­тие А произошло, событие В может произойти тогда и только тогда, когда А и В происходят одновременно. Таким образом, в предположении, что событие А произошло, вероятность события В равна l/m, эта вероятность называется вероятностью события В при условии, что произошло событие А и обозначается Р(В/А), иногда такая условная вероятность обозначается Р_А(В). Аналогично, вероятность события А при условии, что произошло событие В равна l/k и обозначается Р(А/В) или Р_В(А). Заметим, что

Р(АВ)=P(В)Р(А/В)=Р(А)Р(В/A). (7)

Формула (7) называется теоремой умножения. Из этой формулы видно, что если Р(А) и Р(В) не равны нулю, то условные вероятности могут быть определены по формулам:

Р(А/В)= и Р(А/В)= (8)

Для общего случая через формулы (8) условные вероятности Р(А/В) и Р(В/А) вводятся аксиоматически.

Говорят что событие А не зависит от события В, если Р(А/В)=Р(А) , т.е. если наступление события В не изменяет вероятности события А.

Если событие А независимо от В, т.е.

Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А)

Следовательно, в этом случае

Р(В/А)=Р(В),

т.е. если событие А независимо от В, то событие В не зависимо от А, т.е. свойство независимости взаимно.

Если А и В независимы, то независимы также А и . Действительно,

Р(В/А)+Р(/А)=1 и т.к. Р(В/А)=Р(В) и 1-Р(В)=Р() , то

Р(/А)=Р(В).

Отсюда следует, что если А и В независимы также события (,В), (А,В), (,).