Лекции по математике (кафедра мехмата) / Тема_24

185

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

I. Ряд. Сумма ряда. Действия над рядами.

Пусть задана бесконечная последовательность чисел :

u₁ , u₂ , u₃ , u₄ ,..., u_n ,..., то есть

известен закон, по которому можно вычислить любой член последова-

тельности. Выражение (1) называется

числовым рядом, а сами числа u₁ , u₂ , u₃ , u₄ ,..., u_n...

называются членами ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется

n -ой частичной суммой ряда S_n = .

Если существует предел последовательности n -ых частичных

сумм ряда

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд (1) сходится. Если

не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

 _Пример .: рассмотрим ряд, образованный членами геометрической

прогрессии:

Общий член ряда . Известно, что сумма n первых

членов геометрической прогрессии

(2)

Если , то

В этом случае ряд (2) сходится и его сумма

Если , то , и

ряд (2) расходится.

Если , то ряд (2) принимает вид

В этом случае и , то есть

ряд (2) расходится.

Если же , то ряд (2) имеет вид

при n - четном

тогда

при n - нечетном

т.е. не существует, и, следовательно, ряд (2) расходится

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его схо-

димость. Пусть S_n - сумма n первых членов ряда (1), а

- сумма отброшенных членов (при больших все

отброшенные члены содержатся в сумме S_n ). Обозначим через

сумму членов ряда, входящих в S_n , но не входящих в . Тогда

где - постоянное число, не зависящее от n .

, откуда следует,

что если ряд (1) сходится, т.е. существует , то схо-

дится и ряд, полученный отбрасыванием членов из ряда (1), так как в

этом случае существует конечный

Если заданы два сходящихся ряда

и ,

то сходится и ряд, получаемый путем линейной комбинации их членов:

, а его сумма равна ,

где - действительные числа,

a,b - суммы рядов и соответственно.

II. Необходимый признак сходимости ряда.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является воп-

рос об их сходимости. Сформулируем необходимый признак сходимости

ряда:

если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неог-

раниченном возрастании .

 _Доказательство : пусть ряд сходится, т.е.

где S - сумма ряда.

При этом также , т.к. при и . Вычитая почленно из первого равенства второе,

получим

или

но

Следовательно, (3) , что и требовалось доказать.

Если условие (3) не выполняется, то ряд расходится.

Если же условие (3) выполняется, то нельзя сделать вывод о сходимос-

ти ряда. В качестве примера рассмотрим гармонический ряд

Его общий член стремится к нулю при , однако,

гармонический ряд является расходящимся. Сгруппируем члены гармони-

ческого ряда:

в каждой скобке все слагаемые заменим на последнее:

При этом сумма членов в каждой скобке уменьшилась и стала равной

Полученный таким образом ряд расходится, т.к. сумма его не ограниче-

на, следовательно, расходится и ряд с большими членами .

III. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с положитель-

ными членами.

1) признаки сравнения:

пусть даны два ряда и ,

причем для всех n

Тогда если ряд расходится, то расходится и ряд ;

если ряд сходится, то сходится и ряд .

Этот признак справедлив и в том случае, когда условие

начинает выполняться только с некоторого номера N .

2) признак Даламбера:

если в ряде с положительными членами отношение

(n+1) -го члена к n -му при имеет конечный

предел, то есть

то при L>1 ряд расходится,

при L<1 ряд сходится.

В случае, когда L=1 , нельзя сделать вывод о сходимости

ряда. Если же при этом, начиная с некоторого номера , то

ряд расходится.

Ряд расходится и в том случае, когда

Пример .: исследовать сходимость ряда .

По признаку Даламбера

Но

следовательно, ряд расходится

3) признак Коши:

если для ряда с положительными членами величина

имеет конечный предел L , то есть

, то при L>1 ряд расходится,

при L<1 ряд сходится.

При L=1 для установления сходимости требуется дополнитель-

ное исследование.

4) интегральный признак:

пусть члены ряда положительны и не возрастают,

т.е. , и пусть f(x) такая непре-

рывная невозрастающая функция, что , ,

,..., . Тогда

если несобственный интеграл сходится, то сходится

и исследуемый ряд;

если несобственный интеграл расходится, то расхо-

дится и ряд .

Несобственный интеграл называется сходящимся, если

существует конечный предел .

 _Примеры : исследовать на сходимость ряды:

а) ; т.к. и гармоничный ряд рас-

ходится, то расходится и данный ряд

б) ; по пр. Даламбера расходится.

в) ; по пр. Коши

сходится

г) ; по интегральному признаку

ряд сходится.

IV. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки:

или ,

где считаем положительными числами.

 _Теорема Лейбница :

если в знакочередующемся ряде члены таковы,

что (3)

и (4)

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого

члена.

 _Доказательство :

1) рассмотрим сумму четного числа первых членов ряда

В силу условия (3) выражение в каждой скобке положительно и, следо-

вательно, и возрастает с ростом m . Эту же

сумму запишем в виде

Выражение в каждой скобке положительно, поэтому

Таким образом, последовательность при возрастании m

возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел: , причем

Докажем теперь, что "нечетные" частичные суммы стремятся к тому

же пределу S :

в силу условия (4).

Таким образом, теорема доказана.

Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (3), (4) выпол-

няются, начиная с некоторого номера N .

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейб-

ница, то можно оценить погрешность, получающуюся при замене суммы

ряда S его n -ой частичной суммой. При такой замене мы

отбрасываем все члены ряда, начиная с u_n+1 . Они, в свою

очередь, образуют знакочередующийся ряд, сумма которого не превосхо-

дит абсолютной величины u_n+1 . Таким образом, погрешность по-

лучающаяся при замене S на S_n не превосходит по величине

первого из отброшенных членов.

 _Пример : ряд сходится по теореме Лейбница,

т.к. и

V. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются

как положительные, так и отрицательные члены. Знакочередующиеся ряды

являются частным случаем знакопеременных рядов.

Если знакопеременный ряд таков,

что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то и данный знакоперемен-

ный ряд сходится.

 _Пример : исследовать сходимость ряда:

Составим ряд из абсолютных величин

Этот ряд сходится как меньший по сравнению со сходящимся рядом

, т.к. при любом n .

Приведенный признак является достаточным, но не необходимым

признаком сходимости знакопеременных рядов, т.к. существуют такие

знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но не сходятся ряды,

составленные из абсолютных величин их членов. В связи с этим разли-

чают абсолютно и условно сходящиеся знакопеременные ряды.

Сходящийся знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся,

если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. В

противном случае знакопеременный ряд называют условно сходящимся.

 _Примеры : знакопеременный ряд является услов-

но сходящимся, а ряд является абсолютно сходящимся.