Лекции по математике (кафедра мехмата) / Тема_22

171

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

I. Уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид:

(1)

Перепишем (1) в виде (2)

Говорят, что в (2) переменные разделены. Проинтегрируем обе части

(2):

(3)

- общий интеграл уравнения (1).

_Замечание.. При делении на f₂(y) можно потерять решение y=y₀ , где

Очевидно y=y₀ - также решение (1).

_Пример.. Найти общий интеграл уравнения

Разделим переменные

- общий интеграл.

II. Однородные уравнения.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его мож-

но представить в виде

(4)

где правая часть - функция только одного отношения переменных .

Например,

где P(x,y) , Q(x,y) - однородные многочлены переменных x и y оди-

наковой степени однородности, то есть такие, у которых сумма показа-

телей степеней переменных в каждом члене одна и та же. Так уравнение

однородное и может быть представлено в виде (4)

Однородные уравнения легко преобразуются при помощи замены .

Тогда

(5)

Разделяя переменные, получим

- общий интеграл уравнения (4).

Найдя z=z(x,C) , получаем y=xz(x,C).

_Пример..

y(2)=1

- общий интеграл.

- частное решение.

III. Линейные уравнения.

Линейным уравнением называется уравнение вида

(6)

где p(x) и q(x) - непрерывные и дифференцируемые функции.

Решение уравнения (6) будем искать в виде произведения двух

непрерывных и дифференцируемых функций:

(7)

Тогда

Подставим в (6)

или (8)

В качестве v(x) возьмем какое-либо частное решение уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, найдем

Положим C₁=1 и подставим в (8). Получим

Окончательно

Обозначим

Отсюда

- общее решение уравнения (6).

_Пример.. Уравнение движения вертикально брошенного вниз тела с на-

чальной скоростью V₀ и с учетом силы сопротивления:

или

Имеем линейное уравнение, где

Полагаем y=uv,

Из

найдем

Тогда

Удовлетворим начальному условию. При t=0, y=v₀

Тогда, движение падающего тела подчиняется закону