Пример 1

Завод отправил потребителю 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

а) 3 изделия;

б) менее 3 изделий;

в) более 3 изделий;

г) хотя бы одно изделие.

Число n = 500 велико, вероятность p = 0,002 мала, а произведение = np = 1, а . Следовательно, применима формула Пуассона.

а) вероятность повреждения трех изделий:

Р₅₀₀(3) = = = 0,0613;

б) вероятность повреждения менее 3 изделий, т.е. повреждено 0 изделий, 1 или 2 изделия, тогда

Р₅₀₀(k3) = P₅₀₀ (0) + P₅₀₀ (1) + P₅₀₀ (2) = e^-1+ e^-1+e^-1/2= 5e^-1/2= 2,50,36788 = 0,9197.

в) Рассмотрим два события: “повреждено не более трех изделий” и “повреждено более трех изделий”. Легко заметить, что это события противоположные. Тогда

Р₅₀₀(k  3) +P₅₀₀(k  3) = 1.

Искомая вероятность есть

P₅₀₀(k  3) = 1- [P₅₀₀ (0) + P₅₀₀ (1) + P₅₀₀ (2) + P₅₀₀(3)] = 1 - [0,9197+0,0613] = 0,019;

г) событие Q - “повреждено хотя бы одно изделие” и “не повреждено ни одно из изделий” – противоположны. Следовательно

P(Q) = 1 - P₅₀₀ (0) = 1- е^-1 = 1- 0,36788 = 0,6321.

Потоком событий называют последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Простейшим (пуассоновским) называется поток событий, удовлетворяющий следующим условиям:

а) вероятность появления k событий за любой промежуток времени зависит только от числа k и от длительности промежутка времени t и не зависит от начала отсчета времени (свойство стационарности);

б) появление более чем одного события за малый промежуток времени есть событие практически невозможное (свойство ординарности);

в) количества событий k₁, k₂ и т.д., наступивших в непересекающиеся промежутки времени, есть величины, независимые друг от друга (отсутствие последствия).

Интенсивностью потока a называют среднее число событий, наступивших в единицу времени. При заданной интенсивности вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

.

Пример 2

Среднее число заказов такси в одну минуту равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит:

а) четыре заказа;

б) менее четырех заказов;

в) не менее четырех заказов.

По условию a = 3, t = 2, k=4 и можно воспользоваться формулой Пуассона

а)

;

б) событие «поступило менее четырех вызовов» означает, что могло поступить три, два, один или ни одного вызова. Эти события несовместны и поэтому можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

в) события «поступило менее четырех вызовов» и «поступило не менее четырех вызовов» противоположны, поэтому

Р₂ (k > 4) = 1 - Р₂ (k < 4)= 1 –0,1525= 0,8475.