Пример 2

Найти вероятность того, что из 405 бросаний игральной кости шестерка выпадет хотя бы 100 раз.

Используем интегральную теорему Лапласа для n = 405, k₁ = 100, k₂ = 405, p=, q = :

P₄₀₅(100, 405)  Ф() – Ф() = Ф(45) – Ф(4,33) =

= 0,5 – 0,4995 = 0,0005.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Пусть вновь в n независимых одинаковых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, событие А появилось m раз. Тогда, как уже говорилось, относительная частота появления события А или, другими словами, статистическая вероятность появления события А в одном испытании равна . Известно, что при увеличении количества n повторений испытаний, относительная частота появления события А, равная должна приближаться к теоретической вероятности p появления события А в одном испытании.

Существует возможность при помощи интегральной теоремы Лапласа оценить вероятность того, что в серии из n испытаний относительная частота появлений событий А отклонится от вероятности появления этого события в одном испытании р по абсолютной величине не более, чем на наперед заданную положительную величину . Другими словами, можно найти вероятность осуществления неравенства   .

Эта вероятность определяется по формуле

(17)

Пример 1

Известно, что среди деталей, выпускаемых данным станком, 10% нестандартных. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 225 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности их обнаружения при проверке одной детали по абсолютной величине не более, чем на 0,02.

По условию, вероятность обнаружения нестандартной детали в одном испытании р = 0,1, тогда q = 0,9, число испытаний n = 225,  = 0,02. Тогда по формуле (17) искомая вероятность равна

Р(0,02)  2Ф(0,02) = 2Ф(0,02) = 2Ф(1) = 0,6826,

т. к. по таблице функция Лапласа Ф(1) = 0,3413.

Смысл полученной вероятности состоит в том, что при достаточно большом числе повторных проверок 225 деталей, выпущенных данным станком, примерно в 68,26% случаев отклонение относительной частоты от постоянной вероятности обнаружения нестандартной детали в одной проверке по абсолютной величине не превзойдет 0,02.

Пример 2

В примере 1 можно поставить вопрос иначе. Задав заранее требуемую вероятность отклонения относительной частоты Р( ), можно определить необходимое число испытаний n, при которых вероятность отклонения относительной частоты от постоянной р = 0,1 по абсолютной величине не больше, чем на 0,02 составит 95,44%.

По условию Р( 0,02)  0,9544, тогда из формулы (17)

2Ф(0,02) = 0,9544  Ф(0,02) = 0,4772,

а из таблицы функции Лапласа находим соответствующее значение для аргумента функции

0,02 = 2  = 100  = 30  n = 900.

Наивероятнейшее число наступлений событий при повторении испытаний

Пусть проводятся n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Наивероятнейшим числом m₀ появление события А в этих n испытаниях будем называть число, для которого вероятность Р_n(m₀) превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможностей исходов испытаний.

Согласно такому определению, для любого числа появлений события А в испытаниях кроме m₀, в том числе и для m₀+1 и m₀-1 верны соотношения

Р_n(m₀)  P_n(m₀+1) (*) и P_n(m₀)  P(m₀-1) (**).

Подставив в соотношения вместо Р_n(m₀) их выражения по формуле Бернулли, получим:

Разделив обе части неравенства на левую часть, запишем

и, разрешая последнее неравенство относительно m₀, получим

m₀  np-q, (18)

расписав обе части неравенства (**) по формуле Бернулли (проделайте это самостоятельно!), нетрудно получить неравенство

m₀  np+q (19)

и, объединяя неравенства (18) и (19) в одно, получим

np-q  m₀  np+p (20)

Это двойное неравенство (20) и служит для определения наивероятнейшего числа.

Важно запомнить, что длина интервала, определяемого неравенством (20), равна единице. Действительно, разность его границ

(np+p)-(np-q) = np+p-np+q = p+q = 1.

Поэтому, если границы интервала – дробные числа, мы получаем одно значение наивероятнейшего числа m₀, если же границы являются целыми числами, то получаем два значения наивероятнейшего числа:

m₀'= np+p и m₀"= np-q

(при этом, конечно, Р_n(m₀') = P_n(m₀")).

Пример 1

При данном технологическом процессе 85% всей продукции высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий.

По условию n = 150, p = 0,85, q = 1-0,85 = 0,15. Тогда согласно равенству (20), имеем

1500,85 – 0,15  m₀  1500,85 + 0,85,

откуда

127,35  m₀  128,35.

Следовательно, наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий при данном технологическом процессе, равно 128.

Пример 2

Вероятность того, что покупатель будет обслужен в течении 5 минут, равна . Определить наиболее вероятное число покупателей, обслуженных в течении 5 минут, из группы в 13 человек.

По условию n = 13, p = , q = 1- = . Следовательно, из неравенства (20), следует

13 -  m₀  13 ,

или

7  m₀  8.

Это означает, что имеется два значения: m₀' = 7 и m₀"= 8, каждое из которых является наиболее вероятным числом обслуженных покупателей.

Формула Пуассона. Простейший поток событий

В ряде задач вероятность события в отдельном испытании мала. Если при этом число испытаний n велико, то вычисления, произведенные по локальной теореме Лапласа, могут оказаться недостаточно точными. Это происходит в тех случаях, когда произведение . Следовательно, вычисления необходимо производить по более точной формуле. Такой формулой является формула Пуассона

Р_n(k)  .

Если число испытаний велико, а вероятность наступления события в каждом испытании мала, причем величина = np = const, то вероятность наступления события k раз при n испытаниях определяется по формуле Пуассона.